[논문 리뷰] Search Problems in Trees with Symmetries: Near Optimal Traversal Strategies for Individualization-Refinement Algorithms.

Markus Anders, Pascal Schweitzer|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 대칭 트리에서 이소모르피즘 검색 문제를 해결하기 위한 랜덤화된, 거의 최적의 순회 전략을 소개한다. 실질적인 그래프 이소모르피즘 도구의 백트래킹 행동을 모델링하며, 트리 크기의 제곱근에 대해 준선형(expected leaf visits)임을 증명하고, 이에 해당하는 하한선을 제시한다. 이는 Traces와 같은 도구에서 랜덤화된 너비 우선 탐색이 결정론적 깊이 우선 접근 방식보다 우월한 이유를 설명한다.

ABSTRACT

We define a search problem on trees that closely captures the backtracking behavior of all current practical graph isomorphism algorithms. Given two trees with colored leaves, the goal is to find two leaves of matching color, one in each of the trees. The trees are subject to an invariance property which promises that for every pair of leaves of equal color there must be a symmetry (or an isomorphism) that maps one leaf to the other. We describe a randomized algorithm with errors for which the number of visited leaves is quasilinear in the square root of the size of the smaller of the two trees. For inputs of bounded degree, we develop a Las Vegas algorithm with a similar running time. We prove that these results are optimal up to logarithmic factors. We show a lower bound for randomized algorithms on inputs of bounded degree that is the square root of the tree sizes. For inputs of unbounded degree, we show a linear lower bound for Las Vegas algorithms. For deterministic algorithms we can prove a linear bound even for inputs of bounded degree. This shows why randomized algorithms outperform deterministic ones. Our results explain why the randomized breadth-first with intermixed experimental path search strategy of the isomorphism tool Traces (Piperno 2008) is often superior to the depth-first search strategy of other tools such as nauty (McKay 1977) or bliss (Junttila, Kaski 2007). However, our algorithm also provides a new traversal strategy, which is theoretically near optimal with better worst case behavior than traversal strategies that have previously been used.

연구 동기 및 목표

• 실제 그래프 이소모르피즘 알고리즘의 백트래킹 행동을 대칭 트리 위의 검색 문제로 모델링한다.
• 색상이 부여된 트리의 대칭성을 존중하면서도 잎 노드 방문 수를 최소화하는 랜덤화된 알고리즘을 개발한다.
• 유계 및 무한 대칭도를 갖는 트리에 대해 랜덤화 및 결정론적 알고리즘의 이론적 하한선을 수립한다.
• nauty 및 bliss과 같은 도구에서 Traces의 랜덤화된 너비 우선 전략이 결정론적 깊이 우선 전략보다 실증적으로 뛰어난 이유를 설명한다.
• 개별화-정렬 알고리즘에 대해 증명 가능한 거의 최적의 최악의 경우 성능을 갖는 새로운 순회 전략을 제공한다.

제안 방법

• 대칭성 불변성을 갖는 색상이 부여된 트리 위의 검색 문제를 정식화한다: 같은 색상의 잎 노드 쌍에 대해 대칭이 하나를 다른 것으로 매핑한다.
• 기대 방문 수를 최소화하는 방식으로 잎 노드를 순회하는 랜덤화된 알고리즘을 제안하며, 더 작은 트리 크기의 제곱근에 대해 준선형 복잡도를 달성한다.
• 유계 차수 입력에 대해 유사한 기대 성능 보장을 갖는 라스 베가스 변형을 설계한다.
• 확률적 분석과 대칭성 활용을 통해 기대 잎 탐색 수를 근사한다.
• 대칭 제약 조건 하에서의 순회 난이도를 분석하기 위해 트리 이소모르피즘 검색에서의 감소를 사용한다.
• 대칭 제약 조건 하에서 순회의 본질적 어려움을 분석하기 위해 트리 이소모르피즘 검색에서의 감소를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤화 전략 하에서 대칭 트리에서 같은 색상의 잎 노드 쌍을 찾기 위해 필요한 최적의 기대 방문 수는 얼마인가?
• RQ2 유계 대칭도와 무한 대칭도를 갖는 트리에 대해, 랜덤화 및 결정론적 알고리즘의 하한선은 어떻게 다를까?
• RQ3 실제로 Traces의 랜덤화된 너비 우선 탐색이 왜 결정론적 깊이 우선 전략보다 뛰어나게 작동하는가?
• RQ4 이소모르피즘 검색을 위한 대칭 트리에서 거의 최적의 최악의 경우 성능을 갖는 새로운 순회 전략을 설계할 수 있는가?
• RQ5 색상이 부여된 트리의 대칭성은 검색 알고리즘의 효율성에 얼마나 큰 제약을 끼치는가?

주요 결과

• 제안된 랜덤화 알고리즘은 더 작은 트리 크기의 제곱근에 대해 기대 방문 수가 준선형임을 입증한다.
• 유계 차수 트리에 대해서는 동일한 기대 성능 보장을 갖는 라스 베가스 변형이 존재한다.
• 유계 차수 트리에서 랜덤화 알고리즘에 대해 Ω(√n)의 하한선이 증명되었으며, 이는 알고리즘이 거의 최적임을 보여준다.
• 무한 대칭도 트리에 대해서는 라스 베가스 알고리즘에 대해 선형 하한선 Ω(n)이 확립되었으며, 이는 본질적 한계를 시사한다.
• 유계 차수 트리에서도 결정론적 알고리즘에 대해 선형 하한선 Ω(n)이 증명되었으며, 이는 결정론적 방법이 랜덤화 방법보다 열 劣함을 설명한다.
• 이론적 결과들은 Traces의 랜덤화된 너비 우선 전략이 이소모르피즘 도구에서 결정론적 깊이 우선 접근 방식보다 실증적으로 성공한 이유를 설명한다.