[논문 리뷰] Searching, Sorting, and Cake Cutting in Rounds

Simina Brânzei, Dimitris Paparas외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 라운드 기반 모델에서 검색 및 정렬 문제의 쿼리 복잡도를 조사하며, 기대 비용 설정에서 랜덤화된 알고리즘과 분포 기반 쿼리 복잡도 사이에 상당한 격차가 있음을 밝혀낸다. 랜덤화된 알고리즘의 최악의 입력에서의 기대 쿼리 복잡도는 성공 확률 p인 순서 없는 검색 문제에서 np((k+1)/(2k)) ± O(1)이며, 최악의 입력 분포에서의 결정론적 알고리즘은 np(1−(k−1)/(2kp)) ± O(1)이다. 이 비율은 n→∞일 때 2−p로 수렴하며, 덧셈 격차는 n에 대해 선형적으로 증가한다.

ABSTRACT

We study searching and sorting in rounds motivated by a fair division question: given a cake cutting problem with $n$ players, compute a fair allocation in at most $k$ rounds of interaction with the players. Rounds interpolate between the simultaneous and the fully adaptive settings, also capturing parallel complexity. We find that proportional cake cutting in rounds is equivalent to sorting with rank queries in rounds. We design a protocol for proportional cake cutting in rounds, while lower bounds for sorting in rounds with rank queries were given by Alon and Azar. Inspired by the rank query model, we then consider two basic search problems: ordered and unordered search. In unordered search, we get an array $\vec{x}=(x_1, \ldots, x_n)$ and an element $z$ promised to be in $\vec{x}$. We have access to an oracle that receives queries of the form "Is $z$ at location $i$?" and answers "Yes" or "No". The goal is to find the location of $z$ with success probability at least $p$ in at most $k$ rounds of interaction with the oracle. We show the expected query complexity of randomized algorithms on a worst case input is $np\bigl(\frac{k+1}{2k}\bigr) \pm O(1)$, while that of deterministic algorithms on a worst case input distribution is $np \bigl(1 - \frac{k-1}{2k}p \bigr) \pm O(1)$. These bounds apply even to fully adaptive unordered search, where the ratio between the two complexities converges to $2-p$ as the size of the array grows. In ordered search, we get sorted array $\vec{x}=(x_1, \ldots, x_n)$ and element $z$ promised to be in $\vec{x}$. We have access to an oracle that gets comparison queries. Here we find that the expected query complexity of randomized algorithms on a worst case input and deterministic algorithms on a worst case input distribution is essentially the same: $p k \cdot n^{\frac{1}{k}} \pm O(1+pk)$.

연구 동기 및 목표

• 라운드 기반 상호작용 모델에서 검색 및 정렬 문제의 기대 쿼리 복잡도를 분석한다.
• 자연스러운 검색 문제에 대해 랜덤화된 알고리즘과 분포 기반 쿼리 복잡도 사이에 상당한 격차를 식별하고 정량화한다.
• 쿼리 복잡도 결과를 공정 분배 문제인 k라운드 상호작용에서의 비율 기반 케이크 자르기 문제와 연결한다.
• 라운드 모델 하에서 순서 없는 검색과 순서 있는 검색에 대해 기대 쿼리 복잡도의 날카로운 경계를 확립한다.
• 분포 기반 복잡도가 랜덤화된 복잡도의 상수 배수로 유계일 수 있는지 여부에 대한 열린 질문을 해결한다.

제안 방법

• 쿼리에 대한 비교 또는 동일성 응답을 반환하는 오라클을 갖는 라운드 기반 상호작용 문제로 검색 및 정렬을 모델링한다.
• 요소 z의 위치에 대한 질의에 대해 '같다' 또는 '같지 않다'로 응답하는 순서 없는 검색을 위한 랭크 쿼리 모델을 도입한다.
• 야오의 최소 최대 원리와 분포 분석을 사용하여 최악의 입력과 최악의 입력 분포에서 랜덤화된 알고리즘과 결정론적 알고리즘을 비교한다.
• 베르누이 부등식과 가중치가 부여된 산술기하 평균 부등식을 적용하여 쿼리 복잡도의 하한을 유도한다.
• k라운드에서의 비율 기반 케이크 자르기를 랭크 쿼리가 있는 정렬 문제로 환원하여 등가성을 확립한다.
• 재귀적 구조와 수학적 귀납법을 사용하여 쿼리 복잡도의 날카로운 점근적 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기대 비용 설정에서 랜덤화된 알고리즘과 분포 기반 쿼리 복잡도 사이에 증명 가능한 큰 격차가 존재하는가?
• RQ2 k라운드에서의 순서 없는 검색에 대해 랜덤화된 알고리즘과 결정론적 알고리즘의 쿼리 복잡도를 날카롭게 유계로 둘 수 있는가?
• RQ3 라운드 기반 검색의 쿼리 복잡도는 케이크 자르기와 같은 공정 분배 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 n→∞일 때, 랜덤화된 복잡도와 분포 기반 복잡도 사이의 비율과 덧셈 격차의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ5 분포 기반 복잡도가 랜덤화된 복잡도의 상수 배수로 유계로 둘 수 있는가?

주요 결과

• 성공 확률 p ∈(0,1)인 순서 없는 검색 문제에서, 최악의 입력에서의 랜덤화된 알고리즘의 기대 쿼리 복잡도는 np((k+1)/(2k)) ± O(1)이다.
• 최악의 입력 분포에서의 결정론적 알고리즘의 기대 쿼리 복잡도는 np(1−(k−1)/(2kp)) ± O(1)이다.
• 분포 기반 복잡도 대비 랜덤화된 복잡도의 비율은 n→∞일 때 2−p로 수렴하며, 이 비율은 모든 p ∈(0,1)에서 1보다 크다.
• 두 복잡도 사이의 덧셈 격차는 n에 대해 선형적으로 증가하며, n→∞일 때 ∞에 수렴한다.
• 논문은 lim_{n→∞} Dδ(un)/Rδ(un) = 1+δ 및 lim_{n→∞}(Dδ(un)−Rδ(un)) = ∞임을 증명하여 초수상한 격차를 보여준다.
• 결과적으로, 모든 부분 함수 f와 δ>0에 대해 Dδ(f) ≤ c·Rδ(f)+d를 만족하는 보편적인 상수 c,d가 존재하지 않으며, c≥2가 필요하다.