[논문 리뷰] Second Moments and simultaneous non-vanishing of GL(2) automorphic L-series

Jeffrey Hoffstein, Min Lee|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 제약 조건 없이 $Q$ 모듈로 Dirichlet 캐릭터에 대해 평균화된 $GL(2)$ 자동형 $L$-급수의 두 번째 모멘트 공식을 수립하며, 거의 최적의 거듭제곱 절감 오차 항을 달성한다. 주요 기여는 이중 이동 디리클레 급수의 정밀한 추정과 이러한 급수의 특별한 값에 대한 평균값 추정을 통해 중심점에서 $L$-함수의 동시에 영이 아닌 성질을 도출한 것이다.

ABSTRACT

We obtain a second moment formula for the L-series of holomorphic cusp forms, averaged over twists by Dirichlet characters modulo a fixed conductor Q. The estimate obtained has no restrictions on Q, with an error term that has a close to optimal power savings in the exponent. However, one of the contributions to the main term is a special value of a shifted double Dirichlet series. We show that this special value is small on average, and obtain a corresponding estimate for a mean value of the second moment over Q. This mean value is non-zero even when applied to a product of two distinct L-series, leading to a simultaneous non-vanishing result. Our approach uses the theory of shifted multiple Dirichlet series to obtain some refined estimates for double shifted sums. These estimates are the key ingredient in the second moment estimate.

연구 동기 및 목표

• 임의의 제약 조건 없이 $Q$ 모듈로 $GL(2)$ 정수형 촉성형의 두 번째 모멘트에 대한 渐近 공식 유도
• 주요 항에 나타나는 이동 이중 디리클레 급수 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$의 특별한 값 분석 및 두 번째 모멘트 문제의 어려움을 좌우함
• 특히 $f \neq g$일 때에도 $L(1/2,f,\chi)$와 $L(1/2,g,\chi)$가 동시에 영이 아님을 보여주는 동시에 영이 아닌 성질 확립
• 짧은 간격 $Q$ 근처에서 $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$에 대한 평균값 추정 제공, 이는 이 값이 $\ll Q^{\theta - 1/2}$임을 암시하는 추측과 일치함

제안 방법

• 저자들은 이동 다중 디리클레 급수 이론을 활용하여 이중 이동 합의 정밀한 추정을 도출함으로써 두 번째 모멘트 제어에 필수적인 요소 확보
• 근사 함수 방정식과 페르스폰 트레이스 공식을 적용하여 두 번째 모멘트를 클루스타먼 합과 베셀 함수로 표현
• 핵심 요소로 $Q$ 모듈로 캐릭터에 대한 가중 합 사용, 특히 $q \approx Q$ 근처에 국한시키기 위해 가우시안 가중치 $e^{-y^2(\log(Q/q))^2/(4\pi)}$ 도입
• 주요 항은 $L(1,f\otimes g)$와 특별한 값인 이동 이중 디리클레 급수 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$를 포함하며, 이는 해석적 계속성과 잔여치 추출을 통해 분석됨
• 메릴린 변환과 잔여치 정리를 사용하여 $Q$ 근처의 $q$에 대한 $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ 평균값 계산, 주요 항이 오차를 지배함을 보임
• 특성의 해석적 계속성 $\zeta^{(N_0)}(v)$와 오일러 곱 $E_{f,g}^{(N_0)}(v)$에 의존하며, 이는 $\Re(v) > -1$ 에서 절대 수렴함

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $GL(2)$ $L$-급수의 Dirichlet 꼬임에 대해, 도수 $Q$ 에 제약 없이 두 번째 모멘트 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 특별한 값 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$ 의 크기는 얼마이며, $Q$ 에 대해 거듭제곱 절감된 추정이 가능한가?
• RQ3 $f \neq g$일 때 두 번째 모멘트의 평균값이 여전히 0이 아니며, 중심점에서 $L$-함수의 동시에 영이 아닌 성질이 성립하는가?
• RQ4 $Q$ 근처의 짧은 간격에서 $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$에 대한 평균값 추정을 확립할 수 있는가? 이는 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) \ll Q^{\theta - 1/2}$ 라는 추측을 지지함
• RQ5 특히 $f \neq g$일 때도 두 번째 모멘트 공식에서 거듭제곱 절감 오차 항을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 경우 $f = g$일 때, 두 번째 모멘트 $S_{f,f}(Q)$ 는 $L(1,f,\text{Sym}^2)$ 와 특별한 값 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,f)$ 를 포함하는 渐近 공식을 가지며, 오차 항은 $\mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1/2})$ 이다.
• 경우 $f \neq g$일 때, 두 번째 모멘트 $S_{f,g}(Q)$ 는 $2L(1,f\otimes g) + \tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) + \tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;g,f) + \mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1/2})$ 로 渐近적으로 표현된다.
• $Q$ 근처의 $q$에 대해 $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ 의 평균값은 $\gg Q^{-\epsilon}$ 이며, 주요 항은 $\gg 1$ 이므로 평균적으로 특별한 값이 무시할 수 없음을 시사한다.
• 평균값 추정의 주요 항은 $\frac{L(1,f\otimes g)}{\zeta^{(N_0)}(2)} e^{\pi/y^2} \operatorname{Res}_{v=1} \zeta^{(N_0)}(v) E_{f,g}^{(N_0)}(1)$ 로, 양수이며 오차 항 $\mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1})$ 보다 지배한다.
• 저자들은 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) \ll Q^{\theta - 1/2}$ 가 추측됨을 증명하며, 짧은 간격에서의 평균값 추정이 이 추정을 지지함을 보였다.
• 결과적으로 동시에 영이 아닌 성질를 유도한다: 동일한 무게와 네비엔트이프스를 가진 새로운 형식 $f$ 및 $g$ 에 대해, $Q$ 모듈로의 양의 비율을 가진 캐릭터 $\chi$ 에 대해 $L(1/2,f,\chi)$ 와 $L(1/2,g,\chi)$ 는 동시에 영이 아니다.