[논문 리뷰] Second-order analysis for the time crisis problem

Laurent Pfeiffer, Térence Bayen|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 14.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제약집합 K 외부에 머무는 시간을 최소화하는 문제인 타임 크리시스 문제에 대해 이阶필요 최적성 조건을 수립한다. 이는 K^c의 특성함수에 의해 나타나는 비연속 비용함수를 가진 유한시간 영역 최적제어 문제이다. 시간 재매개변수화와 동적 증강을 적용함으로써 문제는 고전적인 메이어 제어 문제로 변환되며, 이로써 표준 최적제어 도구를 사용하여 양함수 조건을 인접함수 방정식, 점프 조건 및 임계원판 분석을 통해 유도할 수 있다. 결과는 프로트리아그 다중변수에 대해 전방성 및 내향성 조건을 만족할 경우 유효하다.

ABSTRACT

In this article, we prove second-order necessary optimality conditions for the so-called time crisis problem that comes up within the context of viability theory. It consists in minimizing the time spent by solutions of a controlled dynamics outside a given subset $K$ of the state space. One essential feature is the discontinuity of the characteristic function involved in the cost functional. Thanks to a change of time and an augmentation of the dynamics, we relate the time crisis problem to an auxiliary Mayer control problem. This allows us to use the classical tools of optimal control for obtaining optimality conditions. Going back to the original problem, we deduce that way second order optimality conditions for the time crisis problem.

연구 동기 및 목표

• 제약집합 K의 닫힘 집합 외부에 머무는 시간을 최소화하는 타임 크리시스 문제에 대해 이阶필요 최적성 조건을 유도하기.
• 목표 함수에 포함된 K^c의 특성함수로 인한 비연속 비용함수의 도전 과제를 다루기.
• 시간 재매개변수화와 동적 증강을 통해 원래 문제를 고전적인 메이어 제어 문제로 변환하기.
• 전방성 및 내향성 제어 조건을 만족할 경우 최적성 조건의 타당성을 보장하기.
• 일阶 결과를 일반화된 다중변수와 프로트리아그 다중변수를 사용하여 이阶 조건으로 확장하기.

제안 방법

• 시간 재매개변수화를 위해 조각별 상수 밀도 함수 ρ_τ(t)를 적용하여 타임 크리시스 문제를 메이어 유형 문제로 변환하기.
• 스위칭 구조를 K^c에 통합하기 위해 상태 및 제어 동역학을 증강하여 표준 최적제어 기법을 적용 가능하게 하기.
• 증강 해밀토니안 H^a를 정의하고, 교차 시간 τ_j에서 점프 조건을 포함한 인접함수 방정식 유도하기.
• 선형화된 상태 및 제약 동역학을 만족하는 탈진 가능한 변형을 특징짓기 위해 임계원판 C(ū,τ̄) 정의하기.
• φ, g 및 H^a의 이阶 도함수를 포함하는 이차형식 Ω[1,γ,ν](δu,δτ)를 통해 이阶 조건 도출하기.
• 일반화된 라그랑주 다중변수 γ 및 ν가 프로트리아그 다중변수로 축소되며, 상수배수를 제외하고 유일하고 비특이하다는 것을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 비용함수를 가진 타임 크리시스 문제에 대해 이阶 최적성 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ2 타임 크리시스 문제를 어떻게 고전적인 최적제어 문제로 변환하여 표준 도구를 적용할 수 있는가?
• RQ3 전방성 및 내향성 제어 조건은 유도된 최적성 조건의 타당성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 경우 일반화된 라그랑주 다중변수는 프로트리아그 다중변수와 동일한가? 그리고 유일한가?
• RQ5 제어 및 교차 시간의 변형에 대해 이阶 조건은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 비연속 비용함수를 가진 유한시간 영역에서 타임 크리시스 문제에 대해 이阶필요 최적성 조건이 수립되었다.
• 시간 재매개변수화와 동적 증강을 통해 타임 크리시스 문제가 고전적인 메이어 제어 문제로 변환되었다.
• 인접함수 시스템은 교차 시간 τ_j에서 다중변수 벡터 γ를 포함한 점프 조건을 만족하는 미분방정식을 만족한다.
• 일반화된 라그랑주 다중변수 γ 및 ν는 프로트리아그 다중변수로 나타나며, 비특이하고 상수배수를 제외하고 유일하다.
• 이차형식 Ω[1,γ,ν](δu,δτ)는 임계원판 C(ū,τ̄) 위에서 비음수이며, 이는 이阶필요 최적성 조건을 보장한다.
• 해밀토니안 H₀(·)는 최적 궤적을 따라 일정하다. 이는 최적성 구조에서 도출된 핵심 성질이다.