[논문 리뷰] Second order backward SDE with random terminal time

Yiqing Lin, Zhenjie Ren외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 확률적 변동성 불확실성 하에서 경로에 의존하는 설정으로 비선형 마링게일 표현을 확장하여 랜덤 종료 시간을 가진 두 번째 차수 후행 확률미분방정식(2BSDE)에 대한 완전한 잘 정의된 이론을 수립한다. 이는 2BSDE의 해가 강건한 슈퍼헤징 가격과 대응됨을 증명하며, 준확실한 확률적 분석을 통해 완전히 비선형적인 타원형 경로에 의존하는 편미분방정식의 연속해와 연결한다.

ABSTRACT

Backward stochastic differential equations extend the martingale representation theorem to the nonlinear setting. This can be seen as path-dependent counterpart of the extension from the heat equation to fully nonlinear parabolic equations in the Markov setting. This paper extends such a nonlinear representation to the context where the random variable of interest is measurable with respect to the information at a finite stopping time. We provide a complete wellposedness theory which covers the semilinear case (backward SDE), the semilinear case with obstacle (reflected backward SDE), and the fully nonlinear case (second order backward SDE).

연구 동기 및 목표

• 랜덤 종료 시간의 경우로 비선형 마링게일 표현 정리의 확장을 위해.
• 랜덤 시간 범위 설정에서 두 번째 차수 후행 확률미분방정식(2BSDE)에 대한 완전한 잘 정의된 이론을 개발하기 위해.
• 2BSDE의 해가 변동성 불확실성 하에서 강건한 슈퍼헤징 문제와 어떻게 연결되는지 파악하기 위해.
• 2BSDE와 완전히 비선형적인 타원형 경로에 의존하는 편미분방정식의 연속해 사이의 연결 고리를 수립하기 위해.
• 반선형 및 반사형 BSDE 프레임워크를 랜덤 정지 시간을 가진 완전히 비선형 2BSDE의 경우로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 연속 경로의 표준공간에서 표준과정 $X$를 사용하여 브라운 운동과 변동성에 대한 제어를 포함하는 2BSDE를 수립한다.
• 해를 준확실하게 표현하기 위해 특이 반마딩게일 측도의 가족 $\mathcal{P}$를 사용하여 모델 불확실성 하에서도 강건성을 확보한다.
• 드리프트 항 $F(t, Y_t, Z_t, \hat{\sigma}_t)$, 확률적 적분 $Z \cdot X$, 보완 초마딩게일 $U^\mathbb{P}$를 포함하는 표현을 통해 해를 정의한다.
• 유일성과 완전한 비선형성을 확보하기 위해 최소성 조건 $\sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[U^\mathbb{P}_T] = 0$을 도입한다.
• 변동성 불확실성 하에서 슈퍼헤징 문제에 이 те올리를 적용하며, 여기서 $\mathcal{P}^{\rm UVM}$은 변동성이 $[\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]$ 범위에 속하는 측도의 집합이다.
• 2BSDE와 경로에 의존하는 HJB 방정식의 연속해 사이의 연결 고리를 활용하여, 값 함수가 $\mathcal{Q}$에서 $ru - \sup_{\gamma \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]} \frac{1}{2}\gamma^2 \partial^{2}_{\omega\omega}u = 0$ 에 연속해로 특징지어짐을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 마링게일 표현 정리가 랜덤 종료 시간의 경우로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 종료 시간이 정지시간인 경우 두 번째 차수 후행 확률미분방정식에 대한 잘 정의된 이론은 무엇인가?
• RQ3 랜덤 시간 범위를 가진 2BSDE의 해는 변동성 불확실성 하에서 강건한 슈퍼헤징과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 변동성 불확실성 하에서의 스토크래틱 제어 문제의 값 함수는 경로에 의존하는 편미분방정식의 연속해로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 값 함수가 균일 연속성을 만족하고 경로에 의존하는 HJB 방정식을 만족하기 위해 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 랜덤 종료 시간 $\mathrm{H}_Q$를 가진 2BSDE의 해는 $\mathcal{P}^{\rm UVM}$-준확실하게 $Y_{t \wedge \mathrm{H}_Q} = \xi - \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} rY_s ds - \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} Z_s \cdot dX_s + \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} dK_s$ 로 주어진다.
• 초기 값 $Y_0$ 는 $u_0 = \sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}^{\rm UVM}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[Y_0]$ 를 만족하며, 이는 주장 $\xi$ 의 강건한 슈퍼헤징 가격과 일치한다.
• 값 함수 $u_0$ 는 $\mathcal{Q}$에서 $ru - \sup_{\gamma \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]} \frac{1}{2}\gamma^2 \partial^{2}_{\omega\omega}u = 0$ 에 연속해로 특징지어지며, $u = \xi$ 는 $\partial\mathcal{Q}$ 에서 성립한다.
• 해 $Y_0$ 는 각각의 $\mathbb{P} \in \mathcal{P}^{\rm UVM}$ 에 대해 관련된 BSDE의 $\mathbb{P}$-거의확실한 해들 위에서의 본질적 상한으로 특징지어진다.
• 비선형 기대 하에서의 충돌 시간 $\mathrm{H}^x_Q$ 의 균일 연속성은 연속해 특징지음에 필요한 정규성 보장한다.
• 이 이론은 랜덤 시간 범위 프레임워크 내에서 반선형 BSDE, 반사형 BSDE, 완전히 비선형 2BSDE를 통합한다.