[논문 리뷰] Second Order $L^\infty$ Variational Problems and the $\infty$-Polylaplacian

Nikos Katzourakis, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 25.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 헤시안의 함수의 $L^\finity$ 노름을 최소화하는 두 번째 순서 $L^\finity$ 변분 문제를 제안하며, 오일러-라그랑주 해석과 유사한 완전 비선형 제3차 편미분방정식인 $\boldsymbol{\mathrm{A}}^2_\finity$ 방정식을 유도한다. 주요 기여는 $\finity$-폴리라플라시안 및 $\finity$-이중라플라시안 방정식의 엄밀한 유도와 분석으로, 바이어 카테고리 및 얀 측도 방법을 통해 일반화된 해($\mathcal{D}$-해)의 존재성, 유일성 및 변분적 특성화를 확립한다.

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of $2$nd order variational problems in $L^\infty$, seeking to minimise the $L^\infty$ norm of a function of the hessian. We also derive and study the respective PDE arising as the analogue of the Euler-Lagrange equation. Given $\mathrm{H}\in C^1(\mathbb{R}^{n imes n}_s)$, for the functional \[ \label{1} \mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O})\, =\, \big\| \mathrm{H}\big(\mathrm{D}^2 u\big) \big\|_{L^\infty(\mathcal{O})}, \ \ \ u\in W^{2,\infty}(Ω),\ \mathcal{O}\subseteq Ω, ag{1} \] the associated equation is the fully nonlinear 3rd order PDE \[ \label{2} \mathrm{A}^2_\infty u\, :=\,\big(\mathrm{H}_X\big(\mathrm{D}^2u\big)\big)^{\otimes 3}:\big(\mathrm{D}^3u\big)^{\otimes 2}\, =\,0. ag{2} \] Special cases arise when $\mathrm{H}$ is the Euclidean length of either the full hessian or of the Laplacian, leading to the $\infty$-Polylaplacian and the $\infty$-Bilaplacian respectively. We establish several results for \eqref{1} and \eqref{2}, including existence of minimisers, of absolute minimisers and of "critical point" generalised solutions, proving also variational characterisations and uniqueness. We also construct explicit generalised solutions and perform numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 순서 변분 문제를 $L^\finity$에서 연구하기 시작하기 위해, 헤시안의 함수의 $L^\finity$ 노름을 최소화하는 문제를 제안한다.
• 완전 비선형 제3차 편미분방정식인 $\mathrm{A}^2_\infty u = 0$를 $L^\infty$ 해석과 유사한 오일러-라그랑주 방정식으로 도출하고 분석한다.
• $\mathrm{A}^2_\infty$ 방정식에 대해 최소화자, 절대 최소화자 및 일반화된 해($\mathcal{D}$-해)의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 변분 원리에 의해 $\mathrm{A}^2_\infty$ 방정식을 특성화하고, 1차원에서의 명시적 해를 제공한다.
• 수치적 방법을 통해 이론적 결과를 검증하며, $p$-이중라플라시안 근사와 유한요소 방법을 사용한다.

제안 방법

• $p \to \infty$일 때의 $L^p$ 문제의 극한으로서 $L^\infty$ 편미분방정식 $\mathrm{A}^2_\infty u = (\mathrm{H}_X(\mathrm{D}^2u))^{\otimes 3} : (\mathrm{D}^3u)^{\otimes 2} = 0$를 유도한다.
• 바이어 카테고리 방법과 구상에 값이 부여된 얀 측도를 사용하여 딜리클레 문제에 대한 일반화된 해($\mathcal{D}$-해)를 구성한다.
• 볼록 통합 및 유동 맵 분석을 통해 $\mathrm{A}^2_\infty$ 연산자를 미분방정식 흐름을 통해 특성화한다.
• 절대 최소화자($\mathrm{AM}^2$) 개념을 통해 $\mathrm{A}^2_\infty$의 변분적 특성화를 확립하고, 비교 원리를 통해 유일성을 증명한다.
• 조각별 이차함수를 사용하여 1차원에서의 $\infty$-이중라플라시안 및 $\infty$-폴리라플라시안에 대해 명시적 해를 구성한다.
• $p$-이중라플라시안 정규화를 통해 수치적 근사를 수행하고, 혼합 유한요소 방법을 사용하여 $\infty$-이중라플라시안 해로의 수렴을 시뮬레이션한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 순서 변분 문제의 $L^\infty$ 극한으로 나타나는 올바른 완전 비선형 제3차 편미분방정식은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 해(예: $\mathcal{D}$-해)는 $\mathrm{A}^2_\infty$ 방정식에 대해 어떻게 구성할 수 있으며, 그 변분적 특성화는 무엇인가?
• RQ3 $L^\infty$ 함수 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \|\mathrm{H}(\mathrm{D}^2u)\|_{L^\infty(\mathcal{O})}$에 대해 절대 최소화자가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $\infty$-폴리라플라시안 및 $\infty$-이중라플라시안 방정식의 구조적 성질은 무엇이며, $p$-라플라시안과의 차이는 무엇인가?
• RQ5 $p$-이중라플라시안 문제의 수치적 근사는 $\infty$-이중라플라시안 해로 수렴하는가? 그리고 고차원에서 나타나는 패턴은 무엇인가?

주요 결과

• $L^\infty$ 오일러-라그랑주 방정식은 $p \to \infty$ 극한에서 유도된 완전 비선형 제3차 편미분방정식인 $\mathrm{A}^2_\infty u = (\mathrm{H}_X(\mathrm{D}^2u))^{\otimes 3} : (\mathrm{D}^3u)^{\otimes 2} = 0$이며, 이는 $L^p$ 문제의 극한으로서 유도된다.
• 1차원에서 $\infty$-이중라플라시안에 대해 조각별 이차함수로 구성된 명시적 일반화된 해가 존재하며, 이는 약한 의미에서 PDE를 만족한다.
• $\mathrm{A}^2_\infty$ 방정식은 $W^{2,\infty}(\Omega)$ 내에서 고유한 절대 최소화자를 갖는다. 이는 $\mathrm{AM}^2$ 조건을 통한 비교 원리로 특성화된다.
• 수치 실험은 $p$-이중라플라시안 해가 $p \to \infty$일 때 $\infty$-이중라플라시안 해로 수렴하며, $\Delta u^p$가 조각별 상수 함수로 수렴함을 확인한다.
• 2차원에서는 $p$-이중라플라시안 극한이 $\Delta u$에서 복잡한 인터페이스 패턴을 나타내며, 이는 $\infty$-이중라플라시안 해가 복잡한 불연속 집합을 가진 조각별 이차함수일 수 있음을 시사한다.
• $\infty$-폴리라플라시안 및 $\infty$-이중라플라시안 방정식은 각각 스케일링 후에 $\mathrm{D}^2u : \mathrm{D}(|\mathrm{D}^2u|^2) \otimes \mathrm{D}(|\mathrm{D}^2u|^2) = 0$ 및 $(\Delta u)^3 |\mathrm{D}(\Delta u)|^2 = 0$과 동일하다.