[논문 리뷰] Sectional curvature-type conditions on Finsler-like metric spaces

Martin Kell|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 13.

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한 줄 요약

이 논문은 Finsler 유사 거리공간에 대해 두 가지 합성 곡률 조건을 제안한다: Busemann의 비양의 곡률 조건과 쌍대적인 단면 곡률 유형의 조건과, 바나흐 공간 이론에서 영감을 얻은 균일한 미세함의 개념이다. 후자는 비자명한 하우스도르프 측도 하에서 이중성, Poincaré 및 측도 수축 성질을 포함한 bi-Lipschitz 분할, 이중성, Poincaré 및 측도 수축 성질을 유도한다. 전자는 Busemann 함수의 준-볼록성과 약한 영혼의 존재를 보장하여, 리만 기하학과 리치 곡률 유계 영역을 초월한 합성 곡률 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

In the first part Busemann concavity as non-negative curvature is introduced and a bi-Lipschitz splitting theorem is shown. Furthermore, if the Hausdorff measure of a Busemann concave space is non-trivial then the space is doubling and satisfies a Poincare condition and the measure contraction property. In the second part the notion of uniform smoothness known from the theory of Banach spaces is applied to metric spaces. It is shown that Busemann functions are (quasi-)convex. This implies the existence of a weak soul. In the end further properties are developed to further dissect the soul. In order to understand the influence of curvature on the geometry of a space it helps to develop a synthetic notion. Via comparison geometry sectional curvature bounds can be obtained that demanding that triangles are thinner or fatter. The two classes are called CAT(κ)- and resp. CBB(κ)-spaces. We refer to the book (BH99) and the forthcoming book (AKP) (see also (BGP92, Ots97)). Note that all those notions imply a Riemannian character of the metric space. In particular, the angle between two geodesics starting at a common point is well-defined. Busemann (Bus55, Section 36) study a weaker notion of non-positive curvature which also applies to normed spaces. A similar idea was developed by Pedersen (Ped52) (see also (Bus55, (36.15))) which fits better in the study of Hilbert geometries (KS58). In the recent year a synthetic notion of a lower bound on the Ricci curvature was defined by Lott-Villani (LV09) and Sturm (Stu06). However, their condition include also Finsler manifolds (Oht09, Oht13). The notion of lower curvature bound in the sense of Alexandrov, i.e. CBB(κ)-spaces, is compatible with this Ricci bound (Pet10, GKO13). However, by now there is no known sectional curvature analogue for Finsler-like spaces which is compatible the synthetic Ricci bounds. In this note we present two approaches towards a sectional curvature-type con- dition. The first is the converse of Busemann's non-positive curvature condition. This condition implies a bi-Lipschitz splitting theorem, uniqueness of tangent cones and if the space admits a non-trivial Hausdorff measure then such spaces satisfy doubling and Poincare conditions and even the measure contraction property. This approach rather focuses on the generalized angles formed by two geodesics. The second approach can be seen as a dual to the theory of uniformly convex metric spaces which we call uniform smoothness. This rather weak condition is only powerful in the large. More precisely, we show that Busemann functions associated to rays are (quasi-)convex and that the space has a weak soul. In order to match the theory in the smooth setting we try to develop further assumptions which imply

연구 동기 및 목표

• 기존의 단면 곡률이 정의되지 않는 Finsler 유사 거리공간에 대해 합성 단면 곡률 유형의 조건을 개발하기 위해.
• 기존의 리만 기하학과 리치 곡률 유계 영역을 초월해 곡률 기반 기하 성질—예를 들어 분할 정리와 측도 조건—을 확장하기 위해.
• Busemann의 비양의 곡률과 합성 리치 곡률 사이의 격차를 메우기 위해 쌍대 곡률 개념을 도입함으로써 두 개념을 연결하기 위해.
• Busemann 함수가 볼록하고 약한 영혼이 존재하는 조건을 설정하여 부드러운 리만 기하학을 모방하기 위해.
• 각도의 구조를 가정하지 않고도 Finsler 다양체와 합성 리치 곡률 유계 조건에 호환 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• Busemann의 비양의 곡률 조건과 쌍대적인 곡률 조건을 도입하여, 지오데식 간의 일반화된 각도에 중점을 둔다.
• 이 쌍대 조건 하에서 bi-Lipschitz 기하학을 활용해 분할 정리와 위상적 강성 결과를 도출한다.
• 바나흐 공간 이론에서 유래한 균일한 미세함 개념을 거리공간에 적용하고, 대규모 기하학에 맞게 변형한다.
• 균일한 미세함 조건 하에서 射선과 관련된 Busemann 함수가 (준-)볼록임을 증명함으로써 약한 영혼의 존재를 유도한다.
• 비자명한 하우스도르프 측도 조건 하에서 쌍대 Busemann 곡률 조건 하에 이중성, Poincaré 및 측도 수축 성질이 유도됨을 증명한다.
• 비슷한 방식으로 CAT(κ) 및 CBB(κ) 공간과 유사한 삼각형의 얇기/두꺼움을 분석하기 위해 비교 기하 기법을 적용하되, Finsler 유사 기하학에 맞게 조정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 각도의 구조 없이도 기존 리만 기하학의 곡률을 일반화할 수 있는 Finsler 유사 공간에 대해 합성 단면 곡률 조건을 정의할 수 있는가?
• RQ2 Busemann의 비양의 곡률 조건과 쌍대적인 조건이 bi-Lipschitz 분할과 측도론적 정규성 조건을 유도하는가?
• RQ3 거리공간에서의 균일한 미세함 조건이 Busemann 함수의 볼록성과 약한 영혼의 존재에 얼마나 깊이 관여하는가?
• RQ4 이러한 새로운 곡률 조건들이 Finsler 기하학에서 기존의 합성 리치 곡률 유계 조건과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 비리만 기하학적 환경에서 단면 곡률 유형의 조건으로부터 이중성, Poincaré 및 측도 수축 성질을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 쌍대 Busemann 조건은 리만 기하학에서 Cheeger-Gromoll 분할 정리를 일반화한 bi-Lipschitz 분할 정리를 유도한다.
• 비자명한 하우스도르프 측도 조건 하에서 쌍대 Busemann 곡률 조건 하에 공간은 이중성 및 Poincaré 조건을 만족한다.
• 동일한 조건 하에서 공간은 측도 수축 성질도 만족하며, 곡률과 측도 행동 간의 연결 고리를 제공한다.
• 균일한 미세함 조건 하에서 射선과 관련된 Busemann 함수는 (준-)볼록이며, 이는 약한 영혼의 존재를 보장한다.
• 약한 영혼은 대규모 기하학을 반영하는 컴팩트하고 완전히 볼록인 부분집합이며, 리만 기하학의 영혼과 유사하다.
• 제안된 곡률 조건들은 합성 리치 곡률 유계 조건과 호환되며, Finsler 다양체로까지 확장되어 비리만 비교 기하학의 빈자리 메워진다.