[논문 리뷰] Secure Distributed Matrix Computation with Discrete Fourier Transform

Nitish Mital, Cong Ling외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 08.

Stochastic Gradient Optimization Techniques인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 이산 푸리에 변환(DFT) 성질을 활용하여 안전한 분산 행렬 곱셈(SDMM)에서 업로드 비용을 최소화하는 새로운 안전한 분산 행렬 계산 기법을 제안한다. 단위근을 이용한 다항식 인코딩을 통해 근사 최적의 업로드 비용과 최적의 다운로드 비용을 달성하면서도, 임의의 T개의 공모 서버에 대해 완전한 프라이버시를 보장하며, 스트래글러 대비 및 다중 행렬 곱셈, 기타 행렬 연산으로의 확장도 가능하다.

ABSTRACT

We consider the problem of secure distributed matrix computation (SDMC), where a extit{user} queries a function of data matrices generated at distributed extit{source} nodes. We assume the availability of $N$ honest but curious computation servers, which are connected to the sources, the user, and each other through orthogonal and reliable communication links. Our goal is to minimize the amount of data that must be transmitted from the sources to the servers, called the extit{upload cost}, while guaranteeing that no $T$ colluding servers can learn any information about the source matrices, and the user cannot learn any information beyond the computation result. We first focus on secure distributed matrix multiplication (SDMM), considering two matrices, and propose a novel polynomial coding scheme using the properties of finite field discrete Fourier transform, which achieves an upload cost significantly lower than the existing results in the literature. We then generalize the proposed scheme to include straggler mitigation, and to the multiplication of multiple matrices while keeping the input matrices, the intermediate computation results, as well as the final result secure against any $T$ colluding servers. We also consider a special case, called computation with own data, where the data matrices used for computation belong to the user. In this case, we drop the security requirement against the user, and show that the proposed scheme achieves the minimal upload cost. We then propose methods for performing other common matrix computations securely on distributed servers, including changing the parameters of secret sharing, matrix transpose, matrix exponentiation, solving a linear system, and matrix inversion, which are then used to show how arbitrary matrix polynomials can be computed securely on distributed servers using the proposed procedure.

연구 동기 및 목표

• 정보 이론적 프라이버시를 확보하면서도 안전한 분산 행렬 계산(SDMC)에서 업로드 비용을 최소화하기.
• SDMM 기법을 다중 행렬 곱셈을 안전하게 지원하도록 확장하기.
• 보안을 해치지 않으면서도 스트래글러 대비를 가능하게 하는 계산 프레임워크 구현하기.
• 전치, 역행렬, 선형 시스템 해법과 같은 기본 연산의 안전한 구현을 통해 임의의 행렬 다항식 계산 지원하기.
• 특히 서버 간 통신 비용이 무시 가능할 경우를 전제로 하여, 실용적인 통신 비용 가정 하에 최적의 업로드 및 다운로드 비용 달성하기.

제안 방법

• 유한체 위에서 이산 푸리에 변환(DFT) 기반 다항식 인코딩을 사용하여 입력 행렬을 N대의 서버에 분산 배포하는 공유로 인코딩한다.
• 각 행렬은 행렬 원소로부터 유도된 계수를 가진 다항식으로 표현되며, 이 유한체 내에서의 N차 단위근에서 평가된다.
• 다항식 보간 성질과 계수의 비밀성 덕분에, 어떤 T개의 공모 서버라도 원본 행렬을 재구성할 수 없도록 인코딩이 보장된다.
• 변환 과정을 통해 (N, N−T, T) 공유를 (N, N−2T, T) 공유로 변환함으로써 행렬 곱의 안전한 계산을 지원한다.
• 중간 결과 및 최종 출력이 비밀 공유 기법으로 보호되는 방식으로, 인코딩된 공유를 이용한 행렬 곱셈을 수행하는 안전한 계산 프rotocol를 설계한다.
• 다중 행렬 곱셈 및 전치, 역행렬, 선형 시스템 해법과 같은 다른 연산으로의 일반화를 위해, 이러한 연산들을 안전한 행렬 곱셈의 시퀀스로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 방법에 비해 훨씬 낮은 업로드 비용을 확보하면서도 T개의 공모 서버에 대해 완전한 프라이버시를 유지할 수 있는 안전한 분산 행렬 계산 기법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 유한체 위에서의 이산 푸리에 변환을 어떻게 활용하여 SDMM에서 업로드 비용을 최소화하는 다항식 인코딩 기법을 구성할 수 있는가?
• RQ3 기존 기법에서 알려진 상호 간섭이 존재하는 바에도 불구하고, SDMM에서 동시에 최적의 업로드 비용과 다운로드 비용을 달성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 기법을 다중 행렬 곱셈 및 기타 기본 행렬 연산을 안전하게 계산할 수 있도록 확장할 수 있는가?
• RQ5 과도한 통신 오버헤드 없이도 스트래글러 내성 기능을 기법에 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 DFT 기반 다항식 인코딩 기법은 업로드 비용 $ \chi_{UL} = \frac{N}{N-T} $을 달성하며, 이는 알려진 하한선이므로 SDMM에서 최적이며 최적이다.
• 다운로드 비용 또한 $ \chi_{DL} = \frac{N}{N-T} $로 최소화되어, 서버 간 통신 비용이 무시 가능하다는 가정 하에 최적 성능을 달성한다.
• 기존 문헌의 결과에 비해 크게 향상된 성능을 보이며, 다중 행렬 곱셈의 안전한 계산을 최소한의 업로드 비용으로 지원한다.
• 자신의 데이터로 계산하는 특수 케이스에서는 사용자 프라이버시가 필요 없어지므로, 가능한 최소 업로드 비용을 달성한다.
• 그룹 기반 내성 기반으로 스트래글러 대비를 지원하지만, 이는 업로드 비용 증가를 수반한다.
• 전치, 역행렬, 선형 시스템 해법과 같은 연산을 안전한 행렬 곱셈의 시퀀스로 환원함으로써, 임의의 행렬 다항식 계산을 안전하게 수행할 수 있다.