[논문 리뷰] Segre Numbers and Hypersurface Singularities

Terence Gaffney, Robert Gassler|ArXiv.org|1996. 11. 01.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 11인용 수 63

한 줄 요약

이 논문은 비유한 길이를 갖는 이상에 대한 불변량으로서 세그레 수를 도입하며, 고전적 다중성을 일반화한다. 이들은 상한반연속성을 보이며, 등식성 이론에 응용되어, 상대 극점 다중성과 레이 수의 일정성이 윌슨 정규성과 초곡면 가중가족의 $W_f$ 조건을 암시함을 보여준다.

ABSTRACT

We define the Segre numbers of an ideal as a generalization of the multiplicity of an ideal of finite colength. We prove generalizations of various theorems involving the multiplicity of an ideal such as a principle of specialization of integral dependence, the Rees-Böger theorem, and the formula for the multiplicity of the product of two ideals. These results are applied to the study of various equisingularity conditions, such as Verdier's condition W, and conditions $A_f$ and $W_f$.

연구 동기 및 목표

• 이상에 대해 유한 길이가 아닌 경우에도 다중성 개념을 세그레 수를 통해 일반화하기.
• 레스의 정리와 적분폐쇄의 전문화 원리와 같은 고전적 정리를 이 일반화된 설정으로 확장하기.
• 이러한 불변량을 사용해 비이sov된 특이점을 갖는 초곡면 가중가정에서 $W_f$, $A_f$, 윌슨 조건과 같은 등식성 조건을 연구하기.
• 자기의 야코비안 이상의 세그레 수와 레이 수, 극점 다중성과 같은 기하 불변량 사이의 연결 고리 설정하기.
• 핵심 불변량의 일정성이 윌슨 정규성과 $W_f$ 조건을 암시함을 증명하여 파루시니의 예측을 확인하기.

제안 방법

• 교차 이론을 통해 세그레 수 정의: 이상에 따라 블로우업의 예외적 분할을 일반적인 초평면과 교차시킨 후 기저에 올려붙이고, 다중성을 취한다.
• 원칙적 전문화의 적분의존성(정리 4.6에서 일반화됨)을 사용해 이상의 세그레 수를 그 줄임의 세그레 수와 연결한다.
• 극점 다중성을 사용해 $I \cdot J$의 세그레 수를 $I$와 $J$의 세그레 수와 연결함으로써 테이시에르의 혼합 다중성 공식을 일반화한다.
• 함수 $f$가 초곡면 가중가정을 정의할 때, 이론을 자코비안 이상 $J(f)$에 적용하여 세그레 수를 레이 수와 상대 극점 다중성과 연결한다.
• 접선 콘으로의 변형을 사용해 $f$의 불변량을 그 초기 형태 $f_0$의 불변량과 연결함으로써 열화에서의 불변성 증명한다.
• 극점 수직성과 세그레 수의 상한반연속성을 활용해 블로우업에서의 예외적 분할의 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유한 길이를 갖는 이상에 대해 새로운 불변량을 사용해 다중성 개념을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 세그레 수는 다중성, 혼합 다중성, 레이 수와 같은 고전적 불변량과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 세그레 수에 대한 어떤 조건이 비이sov된 특이점을 갖는 초곡면 가중가정에서 윌슨 정규성 또는 $W_f$ 조건을 보장하는가?
• RQ4 상대 극점 다중성과 레이 수의 일정성이 가중가정 전반에 걸쳐 등식성을 암시할 수 있는가?
• RQ5 접선 콘으로의 변형이 윌슨 정규성을 유지하는지에 대한 기하적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 이상의 세그레 수는 사전순서상 상한반연속성을 보이며, 다중성의 반연속성 일반화한다.
• $J(f_t)$의 세그레 수는 $f_t$의 레이 수와 일치하며, 그 교대합은 밀뇌르 다양체의 오일러 지표와 같다.
• $f_t$의 상대 극점 다중성과 $f_t$의 레이 수가 일정한 것은 $W_f$ 조건이 성립하고 모든 관련 스트라타가 윌슨 정규일 때이고 그때에만 성립한다.
• 만약 $X$의 매끄러운 스트라타, 그 특이 집합 $\Sigma(X)$, 그리고 $\Sigma(\Sigma(X))$의 codimension-1 성분이 매개변수 공간에 대해 윌슨 정규라면, 상대 극점 다중성과 레이 수는 일정하다.
• 접선 콘으로의 변형 $\mathcal{X} \to \mathbb{C}$가 매개변수 축에 따라 윌슨-등식성일 때이고 그때에만 $m_1(f)^2 = \lambda_2(f) + m_2(f)$ 이고 $m_1(f)^3 = \lambda_3(f) + m_1(f)\lambda_2(f)$ 이다.
• 이 증명은 파루시니의 추측을 확인한다. 즉, $W_f$ 조건은 레이 수의 일정성에 의해 유도된다. 이는 세그레 수와 극점 다중성의 새로운 프레임워크를 사용하여 이루어졌다.