[논문 리뷰] Selective but not Ramsey

Timothy Trujillo|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 19.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 트리에서 유도된 특정 공간에서의 거의 감소성에 기반한 포스팅을 사용하여, 위상적 레이먼드 공간에서 선택적이지만 레이먼드가 아닌 초필터의 첫 번째 알려진 예를 구성한다. 각 양의 정수 $ n $에 대해, $ \mathcal{R}_n $에 대한 선택적 초필터와 레이먼드 초필터의 개념이 동치가 아니라는 것을 증명하며, 도브린의 비극적 질문에 대해 부정적으로 해결한다. 이는 엘렌터크 공간이 아닌 경우에 해당한다.

ABSTRACT

We give a partial answer to the following question of Dobrinen: For a given topological Ramsey space $\mathcal{R}$, are the notions of selective for $\mathcal{R}$ and Ramsey for $\mathcal{R}$ equivalent? Every topological Ramsey space $\mathcal{R}$ has an associated notion of Ramsey ultrafilter for $\mathcal{R}$ and selective ultrafilter for $\mathcal{R}$ (see \cite{MijaresSelective}). If $\mathcal{R}$ is taken to be the Ellentuck space then the two concepts reduce to the familiar notions of Ramsey and selective ultrafilters on $ω$; so by a well-known result of Kunen the two are equivalent. We give the first example of an ultrafilter on a topological Ramsey space that is selective but not Ramsey for the space, and in fact a countable collection of such examples. For each positive integer $n$ we show that for the topological Ramsey space $\mathcal{R}_{n}$ from \cite{Ramsey-Class2}, the notions of selective for $\mathcal{R}_{n}$ and Ramsey for $\mathcal{R}_{n}$ are not equivalent. In particular, we prove that forcing with a closely related space using almost-reduction, adjoins an ultrafilter that is selective but not Ramsey for $\mathcal{R}_{n}$. Moreover, we introduce a notion of finite product among members of the family $\{\mathcal{R}_{n}: n

연구 동기 및 목표

• 임의의 위상적 레이먼드 공간에 대해 선택적 초필터와 레이먼드 초필터가 동치인지 여부에 대한 도브린의 미해결 질문을 다루기 위해.
• 주어진 위상적 레이먼드 공간에 대해 선택적이지만 레이먼드가 아닌 초필터의 명시적 예를 구성하기 위해.
• 유한 곱 위상적 레이먼드 공간으로의 분석을 확장하고, 유사한 동치가 아님 결과를 보여주기 위해.
• 선택적 초필터와 레이먼드 초필터의 동치가 아님을 보장하는 기존 방법의 한계를 조사하기 위해, 레이먼드 계층의 비가산 수준(예: $ \alpha \geq \omega $)으로의 확장을 고려한다.

제안 방법

• 각 $ n \in \mathbb{N}^+ $에 대해 높이 $ n $인 트리 $ T_n $에서 유도된 위상적 레이먼드 공간 $ \mathcal{R}_n $을 정의하고, 거의 감소성을 갖는 관련 공간 $ \mathcal{R}_n^\star $을 구성한다.
• 포스팅을 통해 $ (\mathcal{R}_n^\star, \leq^*) $를 사용하여 일반 필터 $ \mathcal{G} $를 첨가하고, $ \Gamma: \mathcal{R}_n^\star \to \mathcal{R}_n $를 정의하여 $ \mathcal{G} $를 $ [T_n] $ 위의 초필터로 올린다.
• $ \binom{T_n}{r_2(T_n)} $의 분할 $ \{\Pi_0, \Pi_1\} $을 구성하여, 모든 $ S \in \Gamma''\mathcal{G} $에 대해 $ \binom{S}{r_2(T_n)} \subseteq \Pi_0 $ 또는 $ \subseteq \Pi_1 $가 성립하지 않음을 보여, 레이먼드 성질을 위반한다.
• 임의의 감소하는 수열에 대해 그에 대한 의사교집합이 초필터에 속함을 보여, 생성된 초필터가 선택적임을 증명한다.
• 유한 곱 $ \mathcal{H}^n = \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1 $로의 확장을 위해, 곱 공간 $ \mathcal{R}_1^\star \otimes \cdots \otimes \mathcal{R}_1^\star $를 사용하고, 동일한 비레이먼드성 및 선택성 행동이 유지됨을 보여준다.
• 거의 감소성의 개념을 사용하여, 포스팅 조건이 선택적 초필터와 레이먼드 초필터를 구별하는 데 필요한 조합적 구조를 유지하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 위상적 레이먼드 공간 $ \mathcal{R} $에 대해, 선택적 초필터와 레이먼드 초필터의 개념이 동치인가?
• RQ2 엘렌터크 공간 이외의 위상적 레이먼드 공간에 대해, 선택적이지만 레이먼드가 아닌 초필터를 구성할 수 있는가?
• RQ3 유한 곱 위상적 레이먼드 공간에서 선택적 초필터와 레이먼드 초필터의 동치가 아님 성질이 유지되는가?
• RQ4 이러한 구성은 $ \alpha \geq \omega $인 레이먼드 계층의 비가산 수준, 예를 들어 $ \mathcal{R}_\alpha $로 확장될 수 있는가?
• RQ5 엘렌터크 공간은 유일하게 선택적 초필터와 레이먼드 초필터가 일치하는 위상적 레이먼드 공간인가?

주요 결과

• 각 양의 정수 $ n $에 대해, $ \mathcal{R}_n $에 대해 선택적 초필터와 레이먼드 초필터가 동치가 아니라는 위상적 레이먼드 공간 $ \mathcal{R}_n $이 존재한다.
• 거의 감소성에 기반한 포스팅을 통해 $ \mathcal{R}_n^\star $를 사용하면, $ [T_n] $ 위에 선택적이지만 레이먼드가 아닌 초필터를 첨가할 수 있다.
• 비레이먼드 성질은 $ \binom{T_n}{r_2(T_n)} $의 분할 $ \{\Pi_0, \Pi_1\} $을 통해 증명되며, 모든 $ i = 0,1 $에 대해 $ \binom{S}{r_2(T_n)} \subseteq \Pi_i $를 만족하는 $ S \in \Gamma''\mathcal{G} $가 존재하지 않는다.
• 이 방법은 유한 곱으로 확장 가능하다: $ \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1^\star $를 포스팅하면, $ \mathcal{H}^n = \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1 $에 대해 선택적이지만 레이먼드가 아닌 초필터를 첨가한다.
• 기저 트리의 높이가 무한하기 때문에, $ \mathcal{R}_\alpha $에 대해 $ \alpha \geq \omega $일 때는 구성이 확장되지 않으며, 이 경우 동치 여부는 여전히 열려있다.
• 논문은 엘렌터크 공간이 유일한 공간이 아니며, 실제로 대부분 연구된 위상적 레이먼드 공간에서 두 개념의 동치가 성립하지 않음을 입증한다.