[논문 리뷰] Selectively (a)-spaces from almost disjoint families are necessarily countable under a certain parametrized weak diamond principle

Charles J. Morgan, Samuel G. da Silva|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 19.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정 매개변수화된 약한 다이아몬드 원리 하에서, 거의 분리된 가족에서 유도된 선택적 (a)-공간은 반드시 가산이어야 한다는 것을 증명한다. 저자들은 효과적 매개변수화된 약한 다이아몬드 원리 $\top(\omega,<)$ 가 $\chi_{\text{vssau0027}} = \aleph_1$ 를 암시함을 보이며, 이는 CH가 성립하지 않을 경우조차도 비가산적인 선택적 (a) 거의 분리된 가족이 존재할 수 없음을 보장한다.

ABSTRACT

The second author has recently shown ([20]) that any selectively (a) almost disjoint family must have cardinality strictly less than $2^{\alpeh_0}$, so under the Continuum Hypothesis such a family is necessarily countable. However, it is also shown in the same paper that $2^{\alpeh_0} &lt; 2^{\alpeh_1}$ alone does not avoid the existence of uncountable selectively (a) almost disjoint families. We show in this paper that a certain effective parametrized weak diamond principle is enough to ensure countability of the almost disjoint family in this context. We also discuss the deductive strength of this specific weak diamond principle (which is consistent with the negation of the Continuum Hypothesis, apart from other features).

연구 동기 및 목표

• 비가산적인 선택적 (a) 거의 분리된 가족이 어떤 집합론적 가정 하에서 배제될 수 있는지 규명하는 것.
• 특정 매개변수화된 약한 다이아몬드 원리의 추론적 강도를 분석하여 선택적 커버링 성질과 관련된 기수 불변량을 통제하는 데 기여하는 것.
• ZFC와 포싱 모델에서 $\Psi$-공간의 위상적 성질과 조합론적 기수 불변량을 연결하는 것.
• $\top(\omega,<)$ 가 기수 불변량 ${\mathfrak{v}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{a}}$ 에 대해 일致성과 함의관계를 가지는지 조사하는 것.

제안 방법

• 저자들은 매개변수화된 약한 다이아몬드 원리 $\top(\omega,<)$ 를 사용하여, 비가산적인 거의 분리된 가족이 선택적 (a) 성질을 위반함을 보장하는 대각선화 증명을 구성한다.
• 선택적 (a) 공간에서 닫힌离산 부분집합의 크기를 $2^{d(X)}$ 로 제한하는 [20]의 정리 1을 적용하여 거의 분리된 가족의 크기를 제약한다.
• 효과적인 성격을 지닌 $\top(\omega,<)$ 를 활용하여, 결국 공간을 덮는 집합의 수열을 구성함으로써 비가산성을 모순시킨다.
• 이 증명은 거의 분리된 가족에서 유도된 $\Psi$-공간의 맥락에서 이루어지며, 그 위상적 구조를 이용해 조합론적 결과를 도출한다.
• 기수 불변량 ${\mathfrak{v}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{a}}$ 를 $\mathfrak{d}$ 와 $\mathfrak{c}$ 와 같은 알려진 불변량과 연관지어, $\mathfrak{d} \leq \mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ 를 보여준다.
• 기타 원리들, 예를 들어 $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ 와의 강도를 비교하여, $\top(\omega,<)$ 가 ${\mathfrak{v}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{s}}{\mathfrak{a}}$ 를 통제하는 데 더 강력하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수화된 약한 다이아몬드 원리 $\top(\omega,<)$ 가 모든 선택적 (a) 거의 분리된 가족이 가산이 되도록 보장하는 데 충분한가?
• RQ2 $\top(\omega,<)$ 가 $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ 를 암시하는 데 충분한가?
• RQ3 $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ 만으로도 비가산적인 선택적 (a) 거의 분리된 가족의 존재를 방지할 수 있는가?
• RQ4 $\mathfrak{d}$ 는 $\mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ 의 하한이 되는가? 그리고 $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \mathfrak{d}$ 는 ZFC에서 증명 가능한가?
• RQ5 위상수학적 선택 원리의 맥락에서, $\top(\omega,<)$ 의 추론적 강도는 다른 집합론적 가정들과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 매개변수화된 약한 다이아몬드 원리 $\top(\omega,<)$ 는 $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ 를 암시하며, 이는 이 원리 하에서 선택적 (a) 거의 분리된 가족은 반드시 가산이어야 한다는 의미이다.
• 원리 $\top(\omega,<)$ 는 $\aleph_1 < \mathfrak{d}$ 와 함께 일致할 수 있으며, 이는 그것이 지배 수의 크기와 독립적임을 보여준다.
• ZFC에서 $\mathfrak{d} \leq \mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ 는 성립하므로, $\mathfrak{d}$ 는 $\mathfrak{v}_{\text{ss}a}$ 의 하한이다.
• 이 논문은 $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ 만으로는 $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ 를 암시하지 못하며, 이는 $\mathfrak{v}_n = \aleph_1$ 에 대해 성립하는 것과 다르다.
• 원리 $\top(\omega,<)$ 는 $\mathfrak{v}_{\text{ss}a} = \aleph_1$ 과 $\mathfrak{v}_{\text{cp}} = \aleph_1$ 를 모두 암시하므로, 여러 기수 불변량을 통제하는 데 있어 그 강력함을 보여준다.
• 저자들은 $\top(\omega,<)$ 가 CH가 성립하지 않을 경우조차도 비가산적인 선택적 (a) 거의 분리된 가족을 배제하는 데에 충분하다고 확립한다.