[论文解读] Self-affine spectral measures and frame spectral measures on ${\mathbb R}^d$

Dorin Ervin Dutkay, Chun‐Kit Lai|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文研究了在 ℝᵈ 中由具有整数系数的仿射迭代函数系统生成的自仿射测度上的傅里叶基。它建立了这些测度在 ℤᵈ 中具有正交指数函数基或框架的几何条件，并完全刻画了此类测度在 ℤᵈ 中具有谱的条件，解决了自仿射测度谱理论中的关键结构性问题。

ABSTRACT

We study Fourier bases on invariant measures generated by affine iterated function systems in ${\mathbb R}^d$ with integer coefficients. We show that, for simple digit sets, these systems satisfy the open set condition and have no overlap. We present natural geometric conditions under which such measures have an orthonormal basis or a frame of exponential functions with frequencies being a subset of ${\mathbb Z}^d$. Moreover, we characterize when such measures have a spectrum in ${\Bbb Z}^d$.

研究动机与目标

• 确定由 ℝᵈ 中具有整数系数的仿射迭代函数系统生成的自仿射测度在何时具有指数函数的正交基。
• 识别出这些测度在何种几何条件下支持频率位于 ℤᵈ 中的指数函数框架。
• 刻画此类自仿射测度在 ℤᵈ 中存在谱的条件。
• 证明简单数码集可确保底层迭代函数系统的开集条件成立且无重叠。
• 根据数码集的几何与算术条件，对自仿射测度的谱性质提供完整刻画。

提出的方法

• 分析由具有整数矩阵扩张和 ℤᵈ 中数码集的迭代函数系统生成的自仿射测度。
• 应用开集条件以确保自仿射集的非重叠结构，利用数码集的简单性。
• 运用调和分析技术研究测度支集上指数函数正交基与框架的存在性。
• 使用谱理论工具确定测度的谱是否位于 ℤᵈ 中，重点关注指数函数的频率集合。
• 推导出数码集和扩张矩阵的几何条件，以保证傅里叶基或框架的存在。
• 建立自仿射集的几何结构与相关测度谱性质之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，由具有整数系数的仿射 IFS 在 ℝᵈ 中生成的自仿射测度具有指数函数的正交基？
• RQ2 在何种条件下，此类测度支持频率位于 ℤᵈ 中的指数函数框架？
• RQ3 何种条件可确保自仿射测度的谱包含于 ℤᵈ 中？
• RQ4 简单数码集如何影响自仿射集的开集条件与重叠性质？
• RQ5 在 ℝᵈ 中，此类自仿射构造生成的谱测度的完整刻画是什么？

主要发现

• 对于由具有整数系数和简单数码集的仿射迭代函数系统生成的自仿射测度，开集条件成立，且构造中无重叠。
• 本文识别出数码集和扩张矩阵的显式几何条件，使得测度具有指数函数的正交基。
• 建立了测度支持频率位于 ℤᵈ 中的指数函数框架的充分条件。
• 本文完全刻画了自仿射测度的谱包含于 ℤᵈ 中的条件，为该类测度的谱集问题提供了完整解答。
• 结果表明，谱性质与数码集的几何结构及扩张矩阵的算术结构密切相关。
• 该框架可构造出 ℝᵈ 中频率位于 ℤᵈ 的显式框架谱测度示例，扩展了一维情形下的已知结果。