[논문 리뷰] Self-dual Repeated Root Cyclic and Negacyclic Codes over Finite Fields

Kenza Guenda, T. Aaron Gulliver|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 14.

Coding theory and cryptography참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p$인 유한체 위에서 자기 dual 반복 루트 순환 및 반순환 코드를 조사하며, $p$가 홀수일 때 길이 $mp^r$인 자기 dual 반순환 코드의 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 제공한다. 링 동형사상에 의해 생성 다항식을 특성화하고, 특히 소인수 $\equiv 1 \pmod{8}$를 포함하는 길이에 대해 자기 dual 순환 코드의 수에 관한 열린 문제를 해결한다. 이는 $p$에 대한 2의 차수 조건 기반으로 이루어진다. 주요 기여는 자기 dual 반순환 코드의 완전한 특성화와 순환 코드 수세기 문제의 해결이다.

ABSTRACT

In this paper we investigate repeated root cyclic and negacyclic codes of length $p^rm$ over $\mathbb{F}_{p^s}$ with $(m,p)=1$. In the case $p$ odd, we give necessary and sufficient conditions on the existence of negacyclic self-dual codes. When $m=2m'$ with $m'$ odd, we characterize the codes in terms of their generator polynomials. This provides simple conditions on the existence of self-dual negacyclic codes, and generalizes the results of Dinh \cite{dinh}. We also answer an open problem concerning the number of self-dual cyclic codes given by Jia et al. \cite{jia}.

연구 동기 및 목표

• 홀수 소수 $p$에 대해 $(m,p)=1$ 조건을 만족하는 $\mathbb{F}_{p^s}$ 위에서 길이 $mp^r$인 자기 dual 반순환 코드를 특성화하기.
• 다항식 $x^{mp^r}+1$의 인수분해 및 자기 역다항식 성질을 이용하여 이러한 자기 dual 반순환 코드의 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 도출하기.
• Jia 등이 제기한, $\mathbb{F}_{2^s}$ 위에서 길이 $2^r m$인 자기 dual 순환 코드의 수에 관한 열린 문제를 해결하기. 특히 $m$이 $\equiv 1 \pmod{8}$인 소인수를 포함할 경우에 초점 맞추기.
• 이전의 반복 루트 상수순환 코드 결과를 확장하여 명시적인 생성 다항식과 구조 조건을 제공하기.

제안 방법

• $x^{mp^r}+1 = (x^m+1)^{p^r}$를 $\mathbb{F}_{p^s}$ 위에서 기약이고 상호소인 인수로 분해하며, $x^m+1$을 자기 역다항식 인수와 역쌍 인수로 분해하기.
• 반순환 자기 dual 코드의 생성 다항식을 명시적으로 기술하기 위해 링 동형사상의 활용. 생성 다항식은 역쌍 $h_j, h_j^*$에 대해 $h_j^{b_j}(x)h_j^{*p^r - b_j}(x)$ 형태의 곱으로 표현된다.
• 자기 이중성 조건 $A(x) = B^*(x)$를 적용하며, 여기서 $B(x) = (x^n + 1)/A(x)$이다. 이를 통해 자기 이중성에 대한 필요 및 충분 조건 유도하기.
• 군론적 추론을 활용하여 $p \equiv 1 \pmod{8}$인 경우 자기 dual 순환 코드의 존재 조건을 도출하기 위해 2의 $p$에 대한 차수 분석하기.
• [6], [11], [9]의 결과를 활용하여 자기 dual 코드의 존재 조건을 설정하기. 특히 $ord_q(p^2)$가 짝수일 경우에 초점 맞추기.
• $x^{2mp^r} - 1 = (x^m - 1)^{p^r}(x^m + 1)^{p^r}$라는 사실을 활용하여 순환 코드를 $f_i(x)^{\alpha_i}$ 및 $f_i(-x)^{\beta_i}$의 곱으로 생성하는 아이디얼로 분해하기. 여기서 $f_i$는 $x^m - 1$을 나누는 다항식이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 $p$와 $(m,p)=1$ 조건을 만족할 때, $\mathbb{F}_{p^s}$ 위에서 길이 $mp^r$인 자기 dual 반순환 코드의 존재에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가요?
• RQ2 만약 $m = 2m'$이고 $m'$가 홀수일 경우, 자기 dual 반순환 코드의 생성 다항식은 어떻게 명시적으로 특성화할 수 있나요?
• RQ3 $\mathbb{F}_{2^s}$ 위에서 길이 $2^r m$인 자기 dual 순환 코드가 존재하는 조건은 무엇이며, 특히 $m$이 $p \equiv 1 \pmod{8}$인 소인수를 포함할 경우 어떻게 되나요?
• RQ4 $p \equiv 1 \pmod{8}$이고 $ord_p(2) = 2^k e$일 때, $\mathbb{F}_{2^s}$ 위에서 길이 $2^r p^\alpha$인 자기 dual 순환 코드의 정확한 수는 무엇인가요?
• RQ5 $ord_q(p^2)$가 짝수일 때, $\mathbb{F}_p$ 또는 $\mathbb{F}_{p^2}$ 위에서 길이 $2q^\alpha p$인 자기 dual 반순환 코드가 존재하지 않는 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• 홀수 소수 $p$와 $(m,p)=1$ 조건을 만족할 때, $\mathbb{F}_{p^s}$ 위에서 길이 $mp^r$인 자기 dual 반순환 코드가 존재하는 것은 $x^m + 1$의 인수분해에 자기 역기약 인수가 존재하지 않을 때에 한하여 성립한다.
• 만약 $m = 2m'$이고 $m'$가 홀수일 경우, 자기 dual 반순환 코드는 $h_j, h_j^*$가 역쌍을 이루는 다항식에 대해 $\prod_{j=1}^t h_j^{b_j}(x) h_j^{*p^r - b_j}(x)$ 형태의 다항식으로 생성된다.
• 특히 $p \equiv 1 \pmod{8}$일 때, $\mathbb{F}_{2^s}$ 위에서 길이 $2^r p^\alpha$인 자기 dual 순환 코드의 수는 $s = 2^l$이고 $0 < l < k$일 때 유일하게 결정되며, 이 경우 이러한 코드는 $g(x) = (x^{p^\alpha} + 1)^{2^{r-1}}$로 생성된다.
• $ord_q(p^2)$가 짝수일 경우, $\mathbb{F}_p$ 또는 $\mathbb{F}_{p^2}$ 위에서 길이 $2q^\alpha p$인 자기 dual 반순환 코드는 존재하지 않으며, 이는 이전 연구에서 열려 있던 케이스를 해결한 것이다.
• $p=5$, $q=13$, $q=17$일 때, $\mathbb{F}_5$ 또는 $\mathbb{F}_{25}$ 위에서 길이 130, 170, 또는 1690인 자기 dual 반순환 코드는 존재하지 않으며, 이는 $ord_q(p^2)$가 짝수이기 때문이다.
• 논문은 Jia 등이 제기한 열린 문제를 완전히 해결하여, $p \equiv 1 \pmod{8}$인 모든 경우에 대해 자기 dual 순환 코드의 수를 특성화하였으며, $ord_p(2)$에 대한 특정 차수 조건 하에서의 유일성도 입증하였다.