[논문 리뷰] Semi-Lagrangian schemes for linear and fully non-linear Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Kristian Debrabant, Espen R. Jakobsen|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 2인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 확률적 제어 및 금융 분야에서 나타나는 선형 및 완전 비선형 해밀토니안-자코비-벨만(HJB) 방정식을 해결하기 위한 새로운 유형의 단조성(Semi-Lagrangian, SL) 스킴을 제안한다. 이 스킴은 단조성 보간법을 사용하며, 임의의 퇄도성 분산을 포함한 약한 가정 하에서도 수렴 가능하며, $L^\infty$ 안정성과 최적의 매개변수 선택 조건 하에서 수렴 속도 $O(\Delta x^{1/10})$ 가 보장된다.

ABSTRACT

We consider the numerical solution of Hamilton-Jacobi-Bellman equations arising in stochastic control theory. We introduce a class of monotone approximation schemes relying on monotone interpolation. These schemes converge under very weak assumptions, including the case of arbitrary degenerate diffusions. Besides providing a unifying framework that includes several known first order accurate schemes, stability and convergence results are given, along with two different robust error estimates. Finally, the method is applied to a super-replication problem from finance.

연구 동기 및 목표

• 임의의 퇴도성 분산을 가진 HJB 방정식에 대한 단조성 수치 스킴을 통합하는 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비대칭 행렬을 포함한 최소한의 가정 하에서 완전 비선형 HJB 방정식에 대한 수렴성과 안정성을 확립하기 위해.
• 점성해 프레임워크 내에서 일阶 정확도 스킴에 대한 강력한 오차 추정과 수렴 속도를 제공하기 위해.
• 감마 제약 조건이 있는 금융 수학적 초수복제 문제에 이 스킴을 적용하기 위해.
• 수치 실험을 통해 수렴성과 정확도를 입증하고, 비표준 분산 구조를 가진 문제에 대해서도 성능을 평가하기 위해.

제안 방법

• 비정렬 그리드 상에서 해의 단조성 보간법에 기반한 Semi-Lagrangian 스킴의 클래스를 제안한다.
• 차분 연산자 $L^\alpha$ 에 대해 두 번째 차수 일致성 있는 유한차분 근사법을 사용하며, 일致성 조건 (Y1) 를 만족시킨다.
• 시간 이산화에 매개변수 $\theta$ 를 도입하며, $\theta=1$ 일 때 안정성이 보장되고 비선형 문제에 대해 Howard 알고리즘을 적용할 수 있다.
• 편차 오차와 보간 오차를 균형 잡기 위해 $k = \sqrt{\Delta x}$ 와 $\Delta t = O(k^2)$ 를 사용하는 局소 보간 스킴(LISL)을 도입한다.
• 비교 원리에 기반해 수렴성을 확립하기 위해 최대 원리와 $L^\infty$-한계를 활용한다.
• 초수복제 문제에서 발생하는 비선형 연립방정식을 해결하기 위해 Howard 알고리즘을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 프레임워크로 선형 및 완전 비선형 HJB 방정식에 대해 임의의 퇴도성 분산을 가진 단조성 스킴을 통합할 수 있는가?
• RQ2 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에서 Semi-Lagrangian 스킴에 대한 오차 한계를 유도할 수 있는가?
• RQ3 비대칭 또는 퇴도성 분산 행렬을 가진 문제에 대해 이 스킴의 성능은 어떠한가?
• RQ4 감마 제약 조건이 있는 초수복제 문제에 대해 이 스킴이 수렴성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 수렴 속도를 고려할 때, 시간 간격 $\Delta t$, 공간 그리드 $\Delta x$, 보간 매개변수 $k$ 사이의 최적의 균형은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 Semi-Lagrangian 스킴은 표준 가정 (A1) 하에서도 임의의 퇴도성 분산 행렬에 대해 $L^\infty$-안정성과 점성해로의 수렴성을 보장한다.
• 강력한 오차 추정이 유도되었으며, 최적의 매개변수 선택 조건 하에서 $\Delta t = O(k^2)$ 이고 $k = O(\Delta x^{1/2})$ 일 때 수렴 속도 $O(\Delta x^{1/10})$ 가 성립한다.
• 초수복제 테스트 문제에서 수치적 수렴 차수는 약 1.15를 기록하였으며, 이는 이론적 기대와 일치한다.
• 감마 제약 조건이 있는 금융 분야의 초수복제 문제에서 기존 연구 결과와 일치하는 정확한 해를 성공적으로 재현하였다.
• 주요 수렴 정리가 테스트 문제에 직접 적용되지 않는다는 점(비표준 형태로 인해)에도 불구하고, $L^\infty$ 한계와 최대 원리 덕분에 스킴은 효과적으로 유지된다.
• $\theta=1$ 과 $k=\sqrt{\Delta x}$ 를 사용하는 LISL 스킴은 노이만 및 딜리클레 경계 조건이 있는 비선형 초수복제 문제에 대해 안정적이고 정확한 해를 제공한다.