[논문 리뷰] Semi-wave, traveling wave and spreading speed for monostable cooperative systems with nonlocal diffusion and free boundaries

Yihong Du, Wenjie Ni|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 03.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 42인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비국소 확산과 자유 경계를 갖는 단일계 협동 시스템에서의 확산 속도를 결정하기 위한 체계적인 프레임워크를 수립하며, 커널의 감쇠 속도에 따라 확산 속도가 유한한지 또는 무한한지(가속화된 경우)를 증명한다. 반파동 및 진행파에 대한 정밀한 추정을 도출하여, 커널이 $|x|^{-\beta}$처럼 감쇠할 경우 확산 속도가 정확한 점근적 행동을 보임을 보이며, 비국소 확산을 갖는 다종군 시스템에 대해 이러한 결과를 처음으로 제시한다.

ABSTRACT

We consider a class of cooperative reaction-diffusion systems with free boundaries in one space dimension, where the diffusion terms are nonlocal, given by integral operators involving suitable kernel functions, and they are allowed not to appear in some of the equations in the system. The problem is monostable in nature, resembling the well known Fisher-KPP equation. Such a system covers various models arising from mathematical biology, with the Fisher-KPP equation as the simplest special case, where a "spreading-vanishing" dichotomy is known to govern the long time dynamical behaviour. The question of spreading speed is widely open for such systems except for the scalar case. In this paper, we develop a systematic approach to determine the spreading profile of the system, and obtain threshold conditions on the kernel functions which decide exactly when the spreading has finite speed, or infinite speed (accelerated spreading). This relies on a rather complete understanding of both the associated semi-waves and traveling waves. When the spreading speed is finite, we show that the speed is determined by a particular semi-wave, and obtain sharp estimates of the semi-wave profile and the spreading speed. For kernel functions that behave like $|x|^{-γ}$ near infinity, we are able to obtain better estimates of the spreading speed for both the finite speed case, and the infinite speed case, which appear to be the first for this kind of free boundary problems, even for the special Fisher-KPP equation.

연구 동기 및 목표

• 비국소 확산과 자유 경계를 갖는 협동 반응-확산 시스템에서의 확산 속도를 결정하기 위해.
• 확산 속도가 유한한지 또는 무한한지 결정하는 커널 함수에 대한 임계 조건을 규명하기 위해.
• 유한 및 가속화된 확산 영역에서 반파동 프로파일과 확산 속도에 대한 정밀 추정을 수립하기 위해.
• 스칼라 피셔-키프 방정식에 대한 기존 결과를 비국소 확산을 갖는 다종군 협동 시스템으로 확장하기 위해.
• 특히 거듭제곱 법칙에 따라 감쇠하는 커널에 대해 이러한 시스템에 대한 첫 번째 정량적 확산 속도 추정을 제공하기 위해.

제안 방법

• 커널 함수 $J_i(x)$를 통해 정의된 적분 연산자를 통한 비국소 확산 항을 갖는 반응-확산 방정식의 시스템을 분석한다.
• 경계에서의 인구의 유량에 따라 시간에 따라 변화하는 도메인 $ (g(t), h(t)) $을 갖는 자유 경계 문제를 도입한다.
• 주어진 속도를 갖는 반파동 해의 존재성과 유일성을 연구하기 위해 변형된 반파동 문제를 개발한다.
• 비교 원리와 점근적 분석을 사용하여 반파동 프로파일과 확산 속도에 대한 정밀한 경계를 유도한다.
• 장기적 행동을 분류하기 위해 반파동과 진행파 사이의 이분법적 접근을 적용한다.
• 거듭제곱 법칙 추측을 사용한 하한 해 구성 기법을 활용하여, $\beta \in (1,2)$이면 $|x|^{-\beta}$처럼 감쇠하는 커널에 대해 가속화된 확산을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 확산과 자유 경계를 갖는 협동 시스템에서 커널 함수에 어떤 조건이 성립할 경우 확산 속도가 유한하거나 무한해지며, 이는 어떤가?
• RQ2 유한 속도 영역에서 확산 속도는 어떻게 결정되며, 그 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ3 반파동 해의 정밀한 프로파일은 무엇이며, 확산 속도와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 커널 함수의 다양한 감쇠 속도, 예를 들어 $|x|^{-\gamma}$가 확산 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 특히 거듭제곱 법칙 감쇠 커널에 대해, 유한 및 무한 속도 영역 모두에서 확산 속도를 정량적으로 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 무한대에서 $|x|^{-\gamma}$처럼 감쇠하는 커널 함수에 대해, 논문은 유한 및 무한 속도 영역 모두에서 확산 속도에 대한 정밀한 추정을 수립한다.
• 확산 속도가 유한할 경우, 특정 반파동 해에 의해 정확히 결정되며, 이 반파동의 프로파일은 정밀하게 추정된다.
• $\gamma \in (1,2)$인 커널에 대해 논문은 $t^{\gamma/2}$처럼 증가하는 확산 전면을 갖는 가속화된 확산을 증명하며, 비국소 확산을 갖는 자유 경계 문제에 대해 이러한 결과를 처음으로 제시한다.
• 논문은 확산 전면의 정밀한 점근적 행동을 도출하여, $\gamma \in (1,2)$일 경우 $c_0 t - h(t)$ 및 $c_0 t + g(t)$가 $t^{1-\gamma/2}$처럼 증가함을 보인다.
• 주요 고유값 $\tilde{\lambda}_1 < 0$ 이면 확산 속도가 유한하고, $\tilde{\lambda}_1 \geq 0$ 이면 무한(가속화됨)임을 보이며, 이를 통해 정밀한 임계 조건을 제공한다.
• 거듭제곱 법칙 추측을 사용한 하한 해를 구성하여, $\gamma \in (1,2)$이면 확산 속도가 무한함을 증명하며, 확산 전면의 성장률에 대해 상한 및 하한 경계를 정확히 유도한다.