[논문 리뷰] Semisimple and separable algebras in multi-fusion categories

Liang Kong, Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 체 위의 다중 융합 카테고리에서 반단순 및 분리 가능 대수를 분류하며, 웨더버른-아르틴 정리의 이 분야로의 일반화를 시도한다. Drinfeld 중심이 반단순일 경우, 반단순 대수의 분리 가능성은 오직 비분리 체 확장에 의한 장애물 외에는 없으며, 분할 대수가 분리 가능함은 그 차원(쌍대와 동형사상에 의해 정의됨)이 0이 아닐 때이고 그와 동시에만 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

We give a classification of semisimple and separable algebras in a multi-fusion category over an arbitrary field in analogy to Wedderben-Artin theorem in classical algebras. It turns out that, if the multi-fusion category admits a semisimple Drinfeld center, the only obstruction to the separability of a semisimple algebra arises from inseparable field extensions as in classical algebras. Among others, we show that a division algebra is separable if and only if it has a nonvanishing dimension.

연구 동기 및 목표

• 다양분 대수를 이용하여 다중 융합 카테고리 내 반단순 대수를 분류하고 웨더버른-아르틴 정리를 일반화한다.
• 다중 융합 카테고리 내 분리 가능 대수를 특성화하고 분리 가능성의 장애물을 규명한다.
• 융합 카테고리 내 분할 대수의 차원을 정의하고 그와 분리 가능성과의 관계를 연구한다.
• 다중 융합 카테고리의 Drinfeld 중심이 반단순이 되는 조건을 확립하며, 특히 양의 특성수에서의 경우를 다룬다.
• 완전체 및 양의 특성수 체를 포함한 임의의 체에 대해 분리 가능성에 관한 고전 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 강한 모나드 카테고리 내의 내부 함의와 모듈러 카테고리 이론을 활용하여 대수적 구조를 분석한다.
• 쌍대와 동형사상에 의해 정의된 복합 $\mathbf{1} \to A \otimes A^L \xrightarrow{f \otimes f^{-1}} A^L \otimes A \to \mathbf{1}$ 를 통해 분할 대수의 차원을 도입한다. 여기서 $f: A \to A^L$ 는 오른쪽 $A$-모듈러에 대한 동형사상이다.
• 분리 가능성과 중심의 반단순성 간의 관계를 규명하기 위해 Drinfeld 중심 구성 $\mathfrak{Z}(\mathcal{C})$ 를 적용한다.
• 쌍대성에 의한 등가 $\operatorname{RMod}_A(\mathcal{C}) \simeq \operatorname{LMod}_A(\mathcal{C})^{\mathrm{op}}$ 를 활용하여 모듈러 카테고리를 연구한다.
• 대수가 분리 가능함은 오직 단위 사상 $A \otimes A \to A$ 가 이중 모듈러 사상으로 분해될 때에만 성립한다는 기준을 적용한다.
• Drinfeld 중심의 반단순성과 전역 차원에 관한 [ENO]의 결과를 응용하여 분리 가능성 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 체 위의 다중 융합 카테고리 내 반단순 대수의 구조는 어떠한가?
• RQ2 다음과 같은 카테고리 내 반단순 대수가 분리 가능해지기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 융합 카테고리 내 분할 대수의 차원은 그 분리 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Drinfeld 중심의 반단순성이 대수의 분리 가능성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 언제 분리 가능성은 분할 대수의 차원이 0이 아니라는 것으로 환원되는가?

주요 결과

• Drinfeld 중심이 반단순일 경우, 다중 융합 카테고리 내 반단순 대수가 분리 가능함은 오직 비분리 체 확장에 의한 장애물 외에는 없음을 보였다.
• 분할 대수가 분리 가능함은 오직 그 차원이 0이 아닐 때에만 성립하며, 이는 쌍대와 동형사상에 의해 정의된 복합을 통해 정의된다.
• 융합 카테고리 $\mathcal{C}$ 의 전역 차원은 $\mathcal{C} \boxtimes \mathcal{C}^{\mathrm{rev}}$ 내에서 $[\mathbf{1}, \mathbf{1}]$ 의 차원으로 정의되며, 이 값이 0이 아닐 때이고 오직 그 때에만 $\mathfrak{Z}(\mathcal{C})$ 가 반단순임을 보였다.
• 특성수가 0인 경우, 다중 융합 카테고리 내 모든 반단순 대수는 분리 가능하며, 이는 전역 차원이 항상 0이 아니기 때문이다.
• 완전체일 경우, 다중 융합 카테고리 위의 반단순 모듈러 카테고리 간의 함의 사상의 범주가 반단순임은 Drinfeld 중심이 반단순이거나 특성수가 0이면 성립한다.