[论文解读] Separability Idempotents and Multiplier Algebras

Alfons Van Daele|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文在非退化复代数 $B \bigotimes C$ 的乘子代数中引入并研究了可分幂等元，推广了有限维代数中的该概念。通过反同态 $S_B$ 和 $S_C$ 建立了此类幂等元存在的条件，并证明在有限维、交换或 $^*$-代数情形下，若 $E$ 自伴，则正则性（即幂等元在对偶代数中仍可分）自动成立，从而给出了 $B$ 和 $C$ 的结构性刻画。

ABSTRACT

Consider two non-degenerate algebras B and C over the complex numbers. We study a certain class of idempotent elements E in the multiplier algebra of the tensor product of B with C, called separability idempotents. The conditions include the existence of non-degenerate anti-homomorphisms from B to M(C) and from C to M(B), the multiplier algebras of C and B respectively. They are called the antipodal maps. There also exist what we call distinguished linear functionals. They are unique and faithful in the regular case. The notion is more restrictive than what is generally considered in the case of (finite-dimensional) algebras with identity. The separability idempotents we consider in this paper are of a Frobenius type. It seems to be quite natural to consider this type of separability idempotents in the case of non-degenerate algebras possibly without an identity. One example is coming from a discrete quantum group A. Here we take B=C=A and E is the image under the coproduct of h, where h is the normalized cointegral. The antipodal maps coincide with the original antipode and the distinguished linear functionals are the integrals. Another example is obtained from a weak multiplier Hopf algebra A. Now B and C are the images of the source and target maps. For E we take the canonical idempotent. Again the antipodal maps come from the antipode of the weak multiplier Hopf algebra. These two examples have motivated the study of separability idempotents as used in this paper. We use the separability idempotent to study modules over the base algebras B and C. In the regular case, we obtain a structure theorem for these algebras.

研究动机与目标

• 将有限维单位元代数中的可分幂等元概念推广至非退化、非单位元复代数，借助乘子代数实现。
• 定义并分析满足涉及反同态 $S_B: B \to M(C)$ 和 $S_C: C \to M(B)$ 的扭曲协变关系的可分幂等元 $E \in M(B \otimes C)$。
• 研究此类幂等元的正则性概念，即其在 $M(B^{\text{op}} \otimes C^{\text{op}})$ 中的可分性，并刻画正则性成立的条件。
• 在 $E$ 正则时建立 $B$ 和 $C$ 的结构性结果，并探讨其与弱乘子霍普夫代数及离散量子群的联系。
• 识别开放问题，特别是非正则可分幂等元的构造，以及来自非正则弱乘子霍普夫代数的示例。

提出的方法

• 将 $M(B \otimes C)$ 中的可分幂等元 $E$ 定义为满足 $E(b \otimes 1) = E(1 \otimes S_B(b))$ 和 $(1 \otimes c)E = (S_C(c) \otimes 1)E$ 对所有 $b \in B$，$c \in C$ 成立的幂等元，其中 $S_B$、$S_C$ 为非退化的反同态。
• 通过 $(\varphi_B \otimes \iota)E = 1$ 和 $(\iota \otimes \varphi_C)E = 1$ 定义线性泛函 $\varphi_B$ 和 $\varphi_C$，其推广了矩阵代数情形下的迹。
• 将 $E$ 的正则性定义为其在 $M(B^{\text{op}} \otimes C^{\text{op}})$ 中的可分性，并证明 $E$ 正则当且仅当 $S_B$ 和 $S_C$ 分别为取值于 $C$ 和 $B$ 的反同构。
• 利用正则性条件推导结构性结果：当 $E$ 正则时，$B$ 和 $C$ 为具有特定对偶性质的弗罗贝尼乌斯代数。
• 分析两个关键示例：弱乘子霍普夫代数中的典范幂等元，以及具有归一化余积分 $h$ 的离散量子群中的 $\Delta(h)$。
• 探讨某些情形下 $E^2 = E$ 失效（如 $E^2 = 0$）的情况，并讨论其对将理论推广至非幂等情形的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$B$ 和 $C$ 允许存在满足反同态 $S_B$ 和 $S_C$ 的扭曲协变关系的可分幂等元 $E \in M(B \otimes C)$？
• RQ2 何时可分幂等元 $E$ 是正则的，即其在 $M(B^{\text{op}} \otimes C^{\text{op}})$ 中也可分？其结构后果为何？
• RQ3 为何在有限维、交换或 $^*$-代数情形下，当 $E$ 自伴时正则性自动成立？这对底层代数意味着什么？
• RQ4 能否构造出非正则可分幂等元，特别是来自非正则弱乘子霍普夫代数或非双射对极映射的情形？
• RQ5 在离散量子群中，$\Delta(h)$ 的性质（其中可能有 $E^2 = 0$）如何与非幂等情形下的可分幂等元框架相关联？

主要发现

• 当且仅当存在满足扭曲协变关系 $E(b \otimes 1) = E(1 \otimes S_B(b))$ 和 $(1 \otimes c)E = (S_C(c) \otimes 1)E$ 的非退化反同态 $S_B: B \to M(C)$ 和 $S_C: C \to M(B)$ 时，$M(B \otimes C)$ 中的可分幂等元 $E$ 存在。
• 存在线性泛函 $\varphi_B$ 和 $\varphi_C$ 使得 $(\varphi_B \otimes \iota)E = 1$ 且 $(\iota \otimes \varphi_C)E = 1$，这一条件刻画了可分性，并推广了矩阵代数情形下的迹。
• 可分幂等元 $E$ 正则当且仅当 $S_B$ 和 $S_C$ 分别为满足 $S_B(B) \subseteq C$ 和 $S_C(C) \subseteq B$ 的反同构，这表明 $B$ 和 $C$ 为弗罗贝尼乌斯代数。
• 在有限维情形、交换情形（此时 $B \cong K(X)$，$X$ 为一集合）以及 $^*$-代数情形下（当 $E$ 自伴时），正则性自动成立。
• 在正则情形下，$B$ 和 $C$ 分别通过 $S_B$ 和 $S_C$ 同构于其对偶代数，且 $E$ 的结构在 $B$ 与 $C$ 之间定义了对偶关系。
• 本文指出，由于缺乏非正则弱乘子霍普夫代数或非双射对极映射的已知示例，构造非正则可分幂等元十分困难，暗示当前理论中存在一个空白。