[논문 리뷰] Separating regular languages by piecewise testable and unambiguous languages

Thomas Place, Lorijn van Rooijen외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 24.

semigroups and automata theory참고 문헌 11인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 하위어휘 크기의 계산 가능한 상한을 가진 포화 기반 구조를 사용하여, 두 정규 언어가 조각별 테스트 가능한 언어로 분리될 수 있는지 여부를 다항 시간 내에 결정하는 알고리즘을 제시한다. 또한 비결정적 3-Nexptime 알고리즘을 제공하여 비모호한 언어로의 분리 문제를 다루며, 구축 가능한 분리자와 그 복잡도에 대한 날카로운 상한을 제시한다.

ABSTRACT

Separation is a classical problem asking whether, given two sets belonging to some class, it is possible to separate them by a set from a smaller class. We discuss the separation problem for regular languages. We give a Ptime algorithm to check whether two given regular languages are separable by a piecewise testable language, that is, whether a $BΣ1(

연구 동기 및 목표

• 두 정규 언어가 조각별 테스트 가능한 언어로 분리될 수 있는지 여부를 결정하는 의사결정 문제를 해결하는 것.
• 적절한 동치관계에 의한 포화를 통해 존재할 경우 분리자를 구축적으로 생성하는 방법을 제공하는 것.
• 해당 접근법을 비모호한 언어로 확장하여 결정 가능성과 복잡도 상한을 확립하는 것.
• 구문론적 모노이드와 알파벳 크기의 관점에서 분리자의 크기에 대한 날카로운 상한을 제공하는 것.
• 형식 언어 이론에서의 분리 문제에 대한 일반적 프레임워크를 마련하는 것.

제안 방법

• 각 입력 언어의 구문론적 모노이드를 사용하여 조각별 테스트 가능한 분리에 대한 하위어휘 크기의 상한을 유도하는 것.
• 하위어휘 패턴을 크기 κ 이내로 고려하는 동치관계 ≅κ를 정의하며, 여기서 κ는 모노이드 크기와 알파벳의 함수로 계산 가능하다.
• 두 언어가 조각별 테스트 가능한 언어로 분리 가능하다면, 그들은 하위어휘 크기가 유한한 클래스 BΣ₁(<)에 속하는 언어로도 분리 가능하다는 것을 증명하는 것.
• (B,p)-패턴을 통한 펌핑 유사 성질을 적용하여, 수준 κ에서 분리자가 존재하지 않으면 어떤 더 높은 수준에서도 존재하지 않는다는 것을 보이는 것.
• 비모호한 언어의 경우, 모노이드 크기와 알파벳을 기반으로 유사한 상한 κ를 정의하며, 비모호한 곱의 부울 조합을 사용하는 것.
• 자동기반 추론으로의 감소와 비결정적 3-초월시간을 사용하여 비모호한 분리의 복잡도를 상한으로 제시하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 정규 언어가 조각별 테스트 가능한 언어로 분리될 수 있는지 여부를 다항 시간 내에 결정할 수 있는가?
• RQ2 분리자가 존재할 경우, 그 최소 크기는 얼마이며, 효과적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 두 정규 언어가 비모호한 언어로 분리될 수 있는지 여부는 결정 가능하며, 이 문제의 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 조각별 테스트 가능한 언어와 비모호한 언어 모두에 대해, 분리자의 크기를 구문론적 모노이드와 알파벳 크기의 관점에서 상한으로 제시할 수 있는가?
• RQ5 형식 언어 이론에서의 분리 문제에 대한 일반적 프레임워크는 존재하는가? 이는 다양한 하위클래스에 대한 접근법을 통합하는가?

주요 결과

• 두 정규 언어가 조각별 테스트 가능한 언어로 분리될 수 있는지 여부를 다항 시간 내에 결정할 수 있는 알고리즘이 존재한다.
• 이 알고리즘은 입력 NFA에서 금지 패턴을 탐지하는 데 기반하며, 이러한 패턴이 존재하지 않으면 분리 가능성이 보장된다.
• 분리 가능성이 성립할 경우, 분리자는 구문론적 모노이드 크기와 알파벳의 함수로 제한된 인덱스를 가진 동치관계에 의한 한 언어의 포화를 통해 구성될 수 있다.
• 비모호한 언어의 경우, 문제는 3-Nexptime 내에서 결정 가능하며, 필요한 비모호한 곱의 크기에 대한 상한 κ = (2|M₁||M₂| + 1)(|A| + 1)² 이다.
• 상한 κ는 만약 수준 κ에서 분리자가 존재하지 않으면 어떤 더 높은 수준에서도 존재하지 않는다는 것을 보장하며, 이는 펌핑 유사 성질 때문이다.
• 결과는 FO²(<)-정의 가능한 언어로까지 확장되며, 분리자가 존재하는 것은 수준 κ 이내의 양자화 순서를 가진 분리자가 존재하는 것과 동치임을 보여준다.