[논문 리뷰] Sequence-covering maps on generalized metric spaces

Fucai Lin, Shou Lin|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 20.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 거리공간에서의 순서 덮개 사상에 관한 세 가지 미해결 문제에 대해 확립된 답변을 제공한다. 특히, 도메인이 점수량 가측 기저를 지니거나 개발 가능할 경우, 순서 덮개 사상과 경계 컴act 사상이 1-순서 덮개임을 증명한다. 또한 개방 및 닫힌 사상이 강한 단조적 단일성의 성질을 보존하며, 닫힌 순서 덮개 사상이 $\sigma$-점불연속 $k$-네트워크를 지닌 공간을 보존함을 규명하여 [13], [16], [28]의 이전 결과를 발전시킨다.

ABSTRACT

Let $f:X ightarrow Y$ be a map. $f$ is a {\it sequence-covering map}\cite{Si1} if whenever $\{y_{n}\}$ is a convergent sequence in $Y$ there is a convergent sequence $\{x_{n}\}$ in $X$ with each $x_{n}\in f^{-1}(y_{n})$; $f$ is an {\it 1-sequence-covering map}\cite{Ls2} if for each $y\in Y$ there is $x\in f^{-1}(y)$ such that whenever $\{y_{n}\}$ is a sequence converging to $y$ in $Y$ there is a sequence $\{x_{n}\}$ converging to $x$ in $X$ with each $x_{n}\in f^{-1}(y_{n})$. In this paper, we mainly discuss the sequence-covering maps on generalized metric spaces, and give an affirmative answer for a question in \cite{LL1} and some related questions, which improve some results in \cite{LL1, Ls4, YP}, respectively. Moreover, we also prove that open and closed maps preserve strongly monotonically monolithity, and closed sequence-covering maps preserve spaces with a $σ$-point-discrete $k$-network. Some questions about sequence-covering maps on generalized metric spaces are posed.

연구 동기 및 목표

• 도메인이 점수량 가측 기저를 지니거나 개발 가능할 경우, 순서 덮개 사상과 경계 컴팩트 사상이 1-순서 덮개임을 증명하는 [13]의 미해결 질문을 해결한다.
• [13]과 [16]의 결과를 확장하기 위해, 도메인이 유사한 조건을 만족할 경우 순서 몫사상과 경계 컴팩트 사상이 의사-순서 덮개임을 증명한다.
• 도메인이 $g$-메트릭 공간이거나 점수량 가측 기저를 지닐 경우, 닫힌 순서 덮개 사상이 1-순서 덮개임을 증명할 수 있는지 조사한다.
• 특히, 강한 단조적 단일성과 $\sigma$-점불연속 $k$-네트워크를 포함한 위상적 성질이 개방 및 닫힌 사상에 의해 보존되는지 규명한다.
• 닫힌 사상에 의한 $\sigma$-점불연속 $k$-네트워크의 보존 문제와 일반화된 거리공간에서의 순서 덮개 사상의 행동에 관한 새로운 질문을 제기한다.

제안 방법

• $\sigma$-점불연속 $k$-네트워크와 $wcs^*$-네트워크의 개념을 활용하여 일반화된 거리공간 내의 수렴성과 네트워크 구조를 분석한다.
• 순서수에 대한 초한귀납법과 $\aleph_1$-컴팩트 공간의 성질을 적용하여, 특정한 비가산 집합족이 모순을 일으킴을 보여, 핵심 부분집합족의 가산성을 증명한다.
• 외부 기저와 약한 기저의 개념을 활용하여 $g$-메트릭 공간과 그 네트워크 성질을 특성화한다.
• $\sigma$-점불연속 $wcs^*$-네트워크와 $\sigma$-점불연속 $k$-네트워크 사이의 동치성을 활용하여, 다양한 클래스 간에 보존 결과를 이전한다.
• 유한 부분족 선택 성질(보조정리 5.12)을 적용하여 점불연속 집합족으로부터 유한 부분덮개를 추출함으로써 컴팩트성과 네트워크의 유한성을 확보한다.
• 순서 덮개 사상과 1-순서 덮개 사상의 정의를 활용하여, 상자에 수렴하는 수열을 도메인 내에서 구성함으로써, 상자에 수렴하는 수열로 투영되는 적절한 원상의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도메인이 점수량 가측 기저를 지니거나 개발 가능할 경우, $X$에서 $Y$로의 순서 덮개 사상과 경계 컴팩트 사상 $f:X\to Y$는 반드시 1-순서 덮개인가?
• RQ2 도메인이 점수량 가측 기저를 지니거나 개발 가능할 경우, $X$에서 $Y$로의 순서 몫사상과 경계 컴팩트 사상 $f:X\to Y$는 의사-순서 덮개인가?
• RQ3 도메인이 $g$-메트릭 공간이거나 점수량 가측 기저를 지닐 경우, $X$에서 $Y$로의 닫힌 순서 덮개 사상 $f:X\to Y$는 1-순서 덮개인가?
• RQ4 개방 및 닫힌 사상은 일반화된 거리공간에서 강한 단조적 단일성의 성질을 보존하는가?
• RQ5 닫힌 사상은 $\sigma$-점불연속 $k$-네트워크를 지닌 공간을 보존하는가?

주요 결과

• [13]의 질문 1.1에 대해 확립된 답변을 제시한다: 점수량 가측 기저를 지닌 공간 또는 개발 가능 공간에서의 순서 덮개 사상과 경계 컴팩트 사상은 1-순서 덮개이다.
• 논문은 질문 1.2에 대해 긍정적인 해결을 제시한다: 유사한 조건을 만족하는 공간에서의 순서 몫사상과 경계 컴팩트 사상은 의사-순서 덮개이며, [13]과 [16]의 결과를 향상시킨다.
• $X$가 $g$-메트릭 공간이거나 점수량 가측 기저를 지닐 경우 질문 1.3에 대해 긍정적인 답변을 얻었다. 이는 닫힌 순서 덮개 사상이 이러한 조건 하에서 1-순서 덮개임을 보여준다.
• 개방 및 닫힌 사상이 일반화된 거리공간에서 강한 단조적 단일성의 성질을 보존함을 증명하였다.
• 닫힌 순서 덮개 사상은 $\sigma$-점불연속 $k$-네트워크 성질을 보존하며, 이는 $\sigma$-점불연속 $wcs^*$-네트워크와의 동치성에 의해 확립된다.
• 비가산 점섬을 제거하고 고립점을 추가함으로써, $\sigma$-점불연속 $wcs^*$-네트워크를 지닌 $\aleph_1$-컴팩트 공간에 대해 가산 네트워크를 구성하였으며, 결과 네트워크의 가산성을 증명하였다.