[논문 리뷰] Sequential Source Coding for Stochastic Systems Subject to Finite Rate Constraints

Photios A. Stavrou, Mikael Skoglund외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 10.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 44인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 전송률 제약 조건 하에서 순차적 소스 코딩을 위한 최소 총 데이터 전송률을 새로운 방식으로 특성화하며, 시간에 따라 변화하는 분산을 최적화하기 위해 역워터필링 알고리즘을 사용한다. 두 가지 제어 시나리오인 병렬 시간에 따라 변화하는 가우시안 마르코프 과정과 양자화된 LQG 제어에 대해 비점근적이고 유한차원적인 하한 및 상한을 도출하여, 유한한 시간 간격 내 평균 제곱 안정성을 확보하기 위한 절대 최소 데이터 전송률을 규명한다.

ABSTRACT

In this paper, we revisit the sequential source coding framework to analyze fundamental performance limitations of discrete-time stochastic control systems subject to feedback data-rate constraints in finite-time horizon. The basis of our results is a new characterization of the lower bound on the minimum total-rate achieved by sequential codes subject to a total (across time) distortion constraint and a computational algorithm that allocates optimally the rate-distortion for any fixed finite-time horizon. This characterization facilitates the derivation of analytical, non-asymptotic, and finite-dimensional lower and upper bounds in two control-related scenarios. (a) A parallel time-varying Gauss-Markov process with identically distributed spatial components that is quantized and transmitted through a noiseless channel to a minimum mean-squared error (MMSE) decoder. (b) A time-varying quantized LQG closed-loop control system, with identically distributed spatial components and with a random data-rate allocation. Our non-asymptotic lower bound on the quantized LQG control problem, reveals the absolute minimum data-rates for (mean square) stability of our time-varying plant for any fixed finite time horizon. We supplement our framework with illustrative simulation experiments.

연구 동기 및 목표

• 유한한 시간 간격 내 피드백 전송률 제약 조건 하에서 이산 시간 스토케스틱 제어 시스템의 기본 성능 한계를 분석한다.
• 순차적 코딩 프레임워크 내에서 시간에 걸친 최적의 전송률-왜곡 할당을 위한 계산 알고리즘을 개발한다.
• 두 가지 제어 관련 시나리오인 병렬 가우시안 마르코프 과정과 양자화된 LQG 제어에 대해 달성 가능한 전송률에 대한 비점근적이고 유한차원적인 하한 및 상한을 도출한다.
• 유한한 시간 간격 제약 조건 하에서 시간에 따라 변화하는 식물에서 평균 제곱 안정성을 확보하기 위한 절대 최소 데이터 전송률을 규명한다.

제안 방법

• 전체 왜곡 제약 조건 하에서 최소 총 전송률의 하한에 대한 새로운 특성화를 도입하며, 역워터필링 접근법을 활용한다.
• 시간 단위 간의 의존성을 분리하기 위해 동적 역워터필링 해법을 도출하여 시간에 걸친 최적의 전송률 할당을 가능하게 한다.
• 프레임워크를 두 가지 시나리오에 적용한다: (a) 공간적으로 i.i.d. 성분을 가진 병렬 시간에 따라 변화하는 가우시안 마르코프 과정, (b) 랜덤 전송률 할당이 적용된 시간에 따라 변화하는 양자화된 LQG 제어.
• 조건부 엔트로피와 미분 엔트로피를 사용하여 가우시안 조건부 분포를 모델링함으로써 왜곡과 전송률에 대한 닫힌 형태의 표현식을 가능하게 한다.
• 전문가 피드백에 따라 이분법 방법을 사용하여 최적의 전송률 할당을 수치적으로 계산한다.
• 성능 경계와 안정성 한계를 시각화하기 위해 시뮬레이션 실험을 통해 프레임워크를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 왜곡 제약 조건과 유한한 시간 간격 하에서 시간에 따라 변화하는 가우시안 마르코프 과정의 순차적 코딩에 대해 달성 가능한 최소 총 데이터 전송률은 얼마인가?
• RQ2 왜곡 제약 조건을 충족시키면서 총 전송률을 최소화하기 위해 순차적 코딩 프레임워크 내에서 시간에 걸쳐 전송률-왜곡을 어떻게 최적화할 수 있는가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 LQG 제어 시스템에서 평균 제곱 안정성을 확보하기 위해 필요한 절대 최소 데이터 전송률은 얼마인가?
• RQ4 제어 관련 순차적 코딩 시나리오에서 비점근적 경계가 점근적 한계와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 스토케스틱 제어 시스템의 순차적 코딩을 위한 역워터필링 문제를 해결할 수 있는 계산적으로 효율적인 알고리즘을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 양자화된 LQG 제어 문제에 대한 비점근적 하한을 도출하여, 유한한 시간 간격 내에서 평균 제곱 안정성을 확보하기 위한 절대 최소 데이터 전송률을 규명한다.
• 공간적으로 i.i.d. 성분을 가진 시간에 따라 변화하는 가우시안 마르코프 과정의 경우, 총 왜곡-전송률 함수는 $ D^{ ext{IID},1}_{ ext{sum}}(R) = \frac{\nu_{w_t}^2}{2^{2R_t^*} - \nu_t^2} + 2^{-2R_n^*} $로 명시적으로 표현되며, 여기서 $ R_t^* $는 최적의 전송률 할당이다.
• 역워터필링 해법을 재구성함으로써 시간에 따른 최적의 전송률 할당이 분리되어 각 시간 단위에서 $ D(R_t^*) $를 독립적으로 계산할 수 있다.
• 최적의 전략에 대한 왜곡 상한은 $ D(R_t^{ ext{op}}) \leq \frac{4^{1/p}(2\pi e G_p)\sigma_{w_t}^2}{2^{2R_t^\text{op}} - 4^{1/p}(2\pi e G_p)\alpha_t^2} $로 유도되며, $ t = 1, \dots, n-1 $에서 유효하고 $ K_{n+1} = 0 $이다.
• 이 프레임워크는 실시간 제어 시스템에서 엄격한 지연 제약 조건을 충족시키는 데 적용 가능한 계산 가능한 유한차원 경계를 도출할 수 있다.
• 시뮬레이션 실험을 통해 유도된 경계의 날카운성과 제안된 전송률 할당 알고리즘이 최소 데이터 전송률로 안정성을 달성하는 데의 효과성을 확인한다.