[논문 리뷰] Series expansion in fractional calculus and fractional differential equations

Ming-Fan Li, Ji-Rong Ren외 1명|ArXiv.org|2009. 10. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 기본 정리에 기반한 분수계 미적분학에서 분수 급수 전개 방법을 제안하며, 무한히 분수계로 미분 가능한 함수에 대해 분수 타일러 급수를 정의하고 초함수를 일반화한다. 유한하게 분수계로 미분 가능한 함수에 대해서는 다중 분수 지수를 고려하여 접근을 확장하며, 체계적인 급수 전개와 계수 결정을 통해 분수 미분 방정식을 해결하는 데의 유용성을 보여준다.

ABSTRACT

Fractional calculus is the calculus of differentiation and integration of non-integer orders. In a recently paper (Annals of Physics 323 (2008) 2756-2778), the Fundamental Theorem of Fractional Calculus is highlighted. Based on this theorem, in this paper we introduce fractional series expansion method to fractional calculus. We define a kind of fractional Taylor series of an infinitely fractionally-differentiable function. Further, based on our definition we generalize hypergeometric functions and derive corresponding differential equations. For finitely fractionally-differentiable functions, we observe that the non-infinitely fractionally-differentiability is due to more than one fractional indices. We expand functions with two fractional indices and display how this kind of series expansion can help to solve fractional differential equations.

연구 동기 및 목표

• 기본 정리에 기반한 체계적인 분수 급수 전개 방법을 개발하기 위해.
• 무한히 분수계로 미분 가능한 함수에 대해 분수 타일러 급수를 정의하여 분수 미분 방정식의 해석적 다루기 가능성을 제공하기 위해.
• 초함수를 분수 차수로 일반화하고, 그에 해당하는 미분 방정식을 유도하기 위해.
• 유한하게 분수계로 미분 가능한 함수의 과제를 다중 분수 지수의 역할을 규명함으로써 해결하기 위해.
• 체계적인 급수 전개 방법이 비정수 차수 미분을 포함하는 분수 미분 방정식을 효과적으로 해결하는 데 어떻게 기여하는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 카푸토 분수 미분과 리만-리우빌 적분을 사용하여 무한히 분수계로 미분 가능한 함수에 대해 분수 타일러 급수 전개를 제안한다.
• 특수함수 형태에 분수 타일러 급수를 적용하여 분수 일반화 초함수를 도출한다.
• 비무한 분수 미분 가능성을 가진 함수에 대해 두 개의 지수를 가진 급수 전개를 제안하며, 이 지수들은 다중 분수 차수 α와 β에서 유래한다.
• 급수 전개를 분수 미분 방정식에 적용하여 동일한 항의 계수를 일치시킴으로써 해를 구한다.
• 감마 함수 항등식을 사용하여 계수를 재귀적으로 계산하며, 특히 m≥3 또는 n≥1 인 경우 (x−a)^{mα + nβ} 항에 대해 적용한다.
• 일반 알고리즘 수립: 지수 식별 → 분수 거듭제곱에 따른 해 전개 → 방정식에 대입 → 재귀 관계를 통한 계수 해법

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 정리에 기반하여 분수계로 무한히 미분 가능한 함수에 대해 분수 타일러 급수를 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 초함수의 분수 일반화 형태는 무엇이며, 어떤 분수 미분 방정식을 만족하는가?
• RQ3 어떤 함수들이 무한히 분수계로 미분 가능하지 않은가? 이 제한은 다중 분수 지수의 관점에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ4 비정수 차수 미분을 포함하는 분수 미분 방정식을 해결하기 위해 체계적인 급수 전개 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ5 혼합된 분수 거듭제곱을 포함하는 방정식에서 다중지수 분수 급수 전개의 계수를 재귀적으로 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 무한히 분수계로 미분 가능한 함수에 대해 분수 타일러 급수를 정의하여 (x−a)의 분수 거듭제곱을 통한 해석적 표현이 가능해졌다.
• 분수 타일러 급수를 적용하여 분수 초함수를 일반화하고, 그에 해당하는 분수 미분 방정식을 도출하였다.
• 유한하게 분수 미분 가능한 함수의 경우, 장애 요소는 α와 β와 같은 두 개 이상의 분수 지수 존재에서 기인한다.
• 분수 미분 방정식 $ D^{eta}_{a|x}y(x) + f(x)y(x) = g(x) $ 의 해는 $ (x-a)^{eta} $ 와 $ (x-a)^{eta+eta} $ 의 거듭제곱에 대한 두 지수 급수 전개를 통해 구해지며, 계수는 감마 함수 비율에 의해 결정된다.
• 급수 전개의 계수는 재귀적으로 계산되며: $ c_{mn} = -rac{ ext{Gamma}((m-1)eta + neta + 1)}{ ext{Gamma}(meta + neta + 1)} c_{(m-1)n} $, 초기 항에 대해 닫힌 형태의 표현식이 존재한다.
• 이 방법은 분수 미분 방정식을 분수 지수를 가진 일반화된 거듭제곱 급수에서 계수 일치 문제로 환원함으로써 성공적으로 해결한다.