[论文解读] Signed tree associahedra

Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文通过在顶点带符号的树上定义带符号的管状结构和带符号的嵌套集，将单纯形、图的associahedra推广为带符号的树associahedra。通过标准单纯形的稀释面的闵可夫斯基和构造了多面体实现，表明所得的带符号嵌套复形是具有不同几何与组合结构的单纯形球面，其结构取决于符号分配；并通过其法扇和1-骨架定向，建立了与辫子排列、弱序及Cambrian格之间的联系。

ABSTRACT

An associahedron is a polytope whose vertices correspond to the triangulations of a convex polygon and whose edges correspond to flips between them. A particularly elegant realization of the associahedron, due to S. Shnider and S. Sternberg and popularized by J.-L. Loday, has been generalized in two directions: on the one hand by A. Postnikov to obtain a realization of the graph associahedra of M. Carr and S. Devadoss, and on the other hand by C. Hohlweg and C. Lange to obtain multiple realizations of the associahedron parametrized by a sequence of signs. The goal of this paper is to unify and extend these two constructions to signed tree associahedra. We define the notions of signed tubes and signed nested sets on a vertex-signed tree, generalizing the classical notions of tubes and nested sets for unsigned trees. The resulting signed nested complexes are all simplicial spheres, but they are not necessarily isomorphic, even if they arise from signed trees with the same underlying unsigned structure. We then construct a signed tree associahedron realizing the signed nested complex, obtained by removing certain well-chosen facets from the classical permutahedron. We study relevant properties of its normal fan and of certain orientations of its 1-skeleton, in connection to the braid arrangement and to the weak order. Our main tool, both for combinatorial and geometric perspectives, is the notion of spines on a vertex-signed tree, which extend the families of Schröder and binary search trees.

研究动机与目标

• 将associahedra与图的associahedra推广为一类新的多面体，称为带符号树associahedra。
• 在顶点带符号的树上定义带符号的管状结构与带符号的嵌套集，扩展经典管状结构与嵌套集的概念。
• 将带符号嵌套复形几何实现为一种多面体，该多面体由对称群排列体（permutahedron）移除特定面后构造而成。
• 研究带符号树associahedron的法扇与1-骨架定向，探讨其与辫子排列及弱序的关系。
• 通过基于带符号树与肋骨（spines）的统一框架，统一并扩展Postnikov与Hohlweg-Lange对associahedra的先前构造。

提出的方法

• 在顶点带符号的树上引入带符号管状结构的概念，其中管状结构是满足树结构闭包的子集，并根据顶点符号分配符号。
• 将带符号嵌套集定义为成对嵌套或不相交且不相邻的带符号管状结构的集合，形成一个单纯形复形。
• 将带符号树associahedron构造为标准单纯形的稀释面的闵可夫斯基和，其系数由带符号树的肋骨结构决定。
• 使用肋骨——Schröder树与二叉搜索树的推广——作为描述多面体分解与顶点坐标的中心组合工具。
• 分析associahedron的法扇，表明其粗化了辫子排列，并由带符号管状结构的特征向量生成。
• 通过对称群上的弱序，建立1-骨架定向与Cambrian格之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在统一框架下将经典associahedron与图的associahedra构造统一，以纳入顶点的符号分配？
• RQ2 哪些组合对象——特别是带符号的管状结构与带符号的嵌套集——推广了无符号树上的管状结构与嵌套集？
• RQ3 在相同无符号树结构下，结果的带符号树associahedron的几何结构如何依赖于符号分配？
• RQ4 肋骨在参数化带符号树associahedra的闵可夫斯基分解中起什么作用？
• RQ5 带符号树associahedra的法扇与1-骨架定向如何与辫子排列及弱序相关联？

主要发现

• 由顶点带符号树生成的带符号嵌套复形是一个单纯形球面，但其结构依赖于符号分配，即使在无符号树结构固定时也是如此。
• 带符号树associahedron被构造为标准单纯形的稀释面的闵可夫斯基和，其系数由带符号树的肋骨结构决定。
• 带符号树associahedron的法扇粗化了辫子排列，其射线对应于带符号管状结构的特征向量。
• 带符号树associahedron的1-骨架定向对应于弱序的格商，推广了Cambrian格的构造。
• 带符号树associahedron的闵可夫斯基分解包含正负系数，与仅使用正系数和的先前分解不同。
• 对于所有顶点为正号的三叉树，associahedron与Loday的实现一致；而对于混合符号分配，顶点坐标与法扇有显著差异，反映出符号变化带来的几何变化。