[논문 리뷰] Simple non-Hamiltonian systems with an invariant measure

A. V. Tsiganov|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 22.

Control and Dynamics of Mobile Robots참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캐논ical 푸아송 괄호를 변형하고 시간 재파arameterization을 적용하여 비해밀토니안 시스템의 간단한 구성법을 제시한다. 주요 결과는 비철도적 베젤로바 및 찰플린 시스템이 구상 위의 해밀토니안 시스템과 궤도적으로 동치임을 보여주며, 이는 그들의 적분 가능성과 찰플린 변환의 적용 가능성을 설명한다.

ABSTRACT

We propose a simple construction of the non-Hamiltonian dynamical systems possessing an invariant measure. These non-Hamiltonian systems are deformations of the Hamiltonian systems associated with trivial deformations of the canonical Poisson brackets and time transformation. Sometimes these non-Hamiltonian systems can be identified with known nonholonomic systems and, therefore, the results are illustrated through the Chaplygin ball and the Veselova system.

연구 동기 및 목표

• 비해밀토니안 동역학계에서 불변 측도를 갖는 간단한 시스템을 구성하는 것.
• 시간 재파arameterization과 캐논ical 푸아송 괄호의 변형을 통해 해밀토니안 시스템으로부터 이러한 시스템을 생성할 수 있음을 보여주는 것.
• 비철도적 베젤로바 및 찰플린 시스템 간의 궤도적 동치성을 해밀토니안 시스템과의 관계에서 확립하는 것.
• 적분 가능한 비철도적 비철도적 시스템의 맥락에서 찰플린 변환의 기하학적 및 역학적 기원을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 모멘텀을 스케일링함으로써 캐논ical 푸아송 괄호를 변형하여 $ p_k \to g(q)p_k $ 로 하여 비캐논ical 구조 상수를 갖는 새로운 푸아송 구조 $ \{.,.\}_g $ 를 도출한다.
• 시간 재파arameterization $ dt_d = g(q) dt_g $ 를 도입하여 해밀토니안 흐름을 등각 해밀토니안 시스템으로 변환하고, 새로운 벡터장 $ \widetilde{Z} = g(z)Z $ 를 얻는다.
• 결과로 얻어진 비해밀토니안 시스템이 변환의 자코비안에서 유도된 불변 측도 $ \mu_d = g^{1-n} dq\,dp $ 를 유지함을 보인다.
• 베젤로바 및 찰플린 시스템에 이 방법을 적용하여, 구상 위의 변형된 해밀토니안 시스템의 푸아송 괄호와 불변 측도와 일치시킨다.
• 좌표 변환 $ M \to K $ 와 시간 변화를 사용하여 베젤로바 시스템을 $ e^*(3) $ 위의 해밀토니안 시스템과 연결함으로써 궤도적 동치성을 달성한다.
• 특정 매개변수 관계 $ \hat{a}_i = 1 - d a_i $ 를 만족할 경우, 베젤로바 및 찰플린 시스템의 푸아송 괄호와 불변 측도가 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비해밀토니안 시스템에서 불변 측도를 갖는 시스템을 변형과 시간 재파arameterization을 통해 해밀토니안 시스템으로 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 캐논ical 푸아송 괄호의 변형과 시간 변화는 불변 측도의 존재성과 형태에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비철도적 베젤로바 및 찰플린 시스템 간의 기하학적 및 역학적 관계는 무엇인가?
• RQ4 비해밀토니안 시스템이 변수와 시간의 변화를 통해 해밀토니안 시스템과 관련될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 왜 찰플린 변환은 베젤로바 시스템에 적용 가능하며, 그 기하학적 기원은 무엇인가?

주요 결과

• 변형 $ p_k \to g(q)p_k $ 와 $ dt_d = g(q)dt_g $ 를 통해 도출된 비해밀토니안 시스템은 불변 측도 $ \mu_d = g^{1-n} dq\,dp $ 를 갖으며, 원래 해밀토니안 흐름의 궤도를 유지한다.
• 변환된 시스템은 벡터장 $ \widetilde{Z} = g(z)Z $ 를 갖는 등각 해밀토니안 시스템이며, 원래 벡터장이 완전할 경우 $ \widetilde{Z} $ 는 새로운 푸아송 괄호 $ \{.,.\}' $ 에 대해 해밀토니안이다.
• 일반화된 베젤로바 시스템에서 $ (\omega, x) = b \in \mathbb{R} $ 일 경우, $ (x,K) $-좌표계에서의 불변 측도는 $ \mu_v = \hat{g}^{-1} dx\,dK $ 이며, 여기서 $ \hat{g}(x) = (x, \hat{\mathbf{A}}x)^{1/2} $ 이다.
• 조건 $ \hat{a}_i = 1 - d a_i $ 를 만족할 경우, 베젤로바 시스템의 푸아송 괄호 $ \{.,.\}_v $ 는 찰플린 볼의 $ \{.,.\}_g $ 와 일치하여 구조적 동치성을 확립한다.
• 조건 $ c = 0 $ 에서, 베젤로바 시스템은 구상 위의 해밀토니안 시스템과 궤도적으로 동치이며, 적분은 $ \hat{H}_1 = \widetilde{H}_2 - d\widetilde{H}_1 $, $ \hat{H}_2 = \widetilde{H}_2 $ 로 관련된다.
• 세 시스템—베젤로바, 찰플린, 그리고 구상 위의 해밀토니안 시스템—은 동일한 라그랑주 분할과 비파arameterized 궤도를 공유하며, 궤도적 동치성을 확인한다.