[논문 리뷰] Single-point Gradient Blow-up on the Boundary for Diffusive Hamilton-Jacobi Equation in domains with non-constant curvature

Carlos Esteve|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 37인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 경계 곡률이 일정하지 않은 2차원 영역에서 확산 힘슨-자코비 방정식 $u_t - \Delta u = |\nabla u|^p$ 에서 경계에서 단일 점에서의 기울기 폭발(GBU)이 존재함을 확립한다. 경계에 맞춘 곡선좌표계를 사용하고, 특정 단조성 조건을 만족하는 보조 함수를 구성함으로써, 저자께서는 GBU가 고립된 경계점—특히 국소적 곡률 최소점에서—발생할 수 있음을 증명한다. 이는 이전의 원판 및 평평한 영역에 대한 결과를 일반화하는 기하학적 조건을 만족할 경우에 해당한다.

ABSTRACT

We consider the diffusive Hamilton-Jacobi equation $u_t - \\Delta u = |\ abla u|^p$ in a bounded planar domain with zero Dirichlet boundary condition. It is known that, for $p>2$, the solutions to this problem can exhibit gradient blow-up (GBU) at the boundary. In this paper we study the possibility of the GBU set being reduced to a single point. In a previous work [Y.-X. Li, Ph. Souplet, 2009], it was shown that single point GBU solutions can be constructed in very particular domains, i.e.~locally flat domains and disks. Here, we prove the existence of single point GBU solutions in a large class of domains, for which the curvature of the boundary may be nonconstant near the GBU point. Our strategy is to use a boundary-fitted curvilinear coordinate system, combined with suitable auxiliary functions and appropriate monotonicity properties of the solution. The derivation and analysis of the parabolic equations satisfied by the auxiliary functions necessitate long and technical calculations involving boundary-fitted coordinates.

연구 동기 및 목표

• 일정 곡률을 가진 영역을 초월하여 단일 점 기울기 폭발의 존재를 확장하는 것.
• 경계 곡률이 변할 경우 기울기 폭발이 고립된 경계 점에서 발생할 수 있는지 조사하는 것.
• 평면 영역에서 비일정 곡률을 가진 경우 기울기 폭발 집합이 단일 점으로 줄어들 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 이전의 원판 및 국소적으로 평평한 영역에 대한 결과를 더 넓은 기하 구조 클래스로 일반화하는 것.

제안 방법

• 변동 곡률을 다루기 위해 경계에 맞춘 곡선좌표계를 사용하는 것.
• 기울기 행동을 추적하기 위해 편미분 부등식을 만족하는 보조 함수를 정의하는 것.
• 곡선좌표 프레임에서 이동 평면 기법을 사용하여 단조성 및 대칭성 성질을 확립하는 것.
• 강한 최대원리(Strong maximum principle)를 적용하여 보조 함수에 대한 엄밀한 부호 부등식을 유도하는 것.
• 구성의 타당성을 보장하기 위해 기하학적 가정(예: 볼록성, 대칭성, 곡률 중심의 위치)을 점검하는 것.
• 경계 폭발점 근처에서 해의 행동을 통제하기 위해 장기간의 기술적 분석이 필요한 편미분 방정식을 유도하고 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비일정 곡률을 가진 영역에서 기울기 폭발이 고립된 경계 점에서 국소화될 수 있는가?
• RQ2 기울기 폭발 집합이 단일 점이 되도록 보장하는 경계에 대한 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 폭발점 근처의 곡률 프로파일은 단일 점 폭발 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 원판 및 평평한 영역에 대한 결과를 변수 곡률을 가진 더 일반적인 영역으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 국소 곡률 최소점이 아닌 점에서 단일 점 기울기 폭발이 가능한가?

주요 결과

• 타원 영역에서 $p > 2$ 인 경우, 기울기 폭발은 곡률이 최소인 경계점에서 발생한다.
• x=0을 중심으로 대칭이고 x-방향으로 볼록하며, 곡률이 감소하고 곡률 중심이 $\Omega$ 외부에 있는 영역에서는 원점에서 단일 점 GBU가 가능하다.
• 곡률 반경이 원점 근처에서 비증가하고 영역이 반사 대칭 조건을 만족할 경우, 폭발 집합은 단일 점으로 줄어든다.
• 이 구성은 정리 2.5의 기하학적 및 해석적 조건들(2.11)–(2.15)을 만족함을 확인함으로써 성립한다. 이 조건들은 타원과 지정된 영역 클래스에 의해 충족된다.
• 이전의 원판 및 평평한 영역 결과를 비일정 곡률이 폭발점 근처에 존재하는 경우에도 허용함으로써 방법을 확장한다.
• 증명은 경계에 맞춘 좌표계에서의 편미분 방정식에 대한 세밀한 분석과 보조 함수를 통한 비교 원리의 사용에 기반한다.