[论文解读] Singular Hochschild Cohomology and Gerstenhaber Algebra Structure

Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文将奇异Hochschild上同调定义为包络代数奇异范畴中的态射，证明其具有Gerstenhaber代数结构。对于对称代数，进一步建立了Batalin-Vilkovisky（BV）代数结构，将经典Hochschild上同调结果推广至奇异和负次数。

ABSTRACT

In this paper, we define the singular Hochschild cohomology groups $HH_{sg}^i(A, A)$ of an associative $k$-algebra $A$ as morphisms from $A$ to $A[i]$ in the singular category $D_{sg}(A\otimes_k A^{op})$ for $i\in \mathbb{Z}$. We prove that $HH_{sg}^*(A, A)$ has a Gerstenhaber algebra structure and in the case of a symmetric algebra $A$, $HH_{sg}^*(A, A)$ is a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra.

研究动机与目标

• 将奇异Hochschild上同调群定义为包络代数奇异范畴中的态射。
• 为任意关于投射k-模的结合代数，建立奇异Hochschild上同调上的Gerstenhaber代数结构。
• 证明对于对称代数，奇异Hochschild上同调具有Batalin-Vilkovisky（BV）代数结构。
• 在自内射情形下，将奇异Hochschild上同调与Tate上同调及稳定上同调联系起来。
• 通过Connes的B-算子与∆-算子，将BV结构扩展至负次数与零次成分。

提出的方法

• 将奇异Hochschild上同调定义为 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{i}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A) := \mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits_{\mathcal{D}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A\otimes_k A^{\mathop{\mathrm{op}}\nolimits})}(A, A[i])$，其中 $i \in \mathbb{Z}$。
• 利用奇异范畴 $\mathcal{D}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A\otimes_k A^{\mathop{\mathrm{op}}\nolimits})$ 作为有界导出范畴对完美复形的Verdier商。
• 通过奇异范畴中的Yoneda复合构造Gerstenhaber括号与上乘积。
• 对于对称代数，将BV算子 $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ 定义为负次数上的Connes B-算子与正次数上的∆-算子，零次成分上为零。
• 通过证明涉及括号与 $\mu^*$ 映射的关键图表的交换性，验证BV公理。
• 利用涉及 $\{f, \alpha\} = (-1)^m \Delta(f) \cap \alpha + f \cap B(\alpha)$ 的显式公式，验证BV结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 奇异Hochschild上同调是否具有Gerstenhaber代数结构？
• RQ2 Hochschild上同调上的BV代数结构能否扩展至对称代数的奇异上同调？
• RQ3 在自内射情形下，奇异Hochschild上同调如何与Tate上同调及稳定上同调关联？
• RQ4 BV算子 $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ 在负、零与正次数成分上的行为如何？
• RQ5 当 $A$ 为对称代数时，奇异Hochschild上同调是否为BV代数？BV算子如何实现？

主要发现

• 对于任意关于k-模的结合代数 $A$ 且 $A$ 在 $k$ 上投射，奇异Hochschild上同调 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{*}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$ 构成一个Gerstenhaber代数。
• 对于对称代数，$\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{*}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$ 是一个Batalin-Vilkovisky代数，其中 $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ 在负次数上定义为Connes B-算子，在正次数上定义为∆-算子。
• $\Delta_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}$ 在 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{0}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$ 上为零，确保与BV公理相容。
• 对于自内射代数，奇异Hochschild上同调与Tate-Hochschild上同调及稳定Hochschild上同调一致。
• 循环上同调 $\mathop{\mathrm{HC}}\nolimits_{*}(A,A)$ 是一个下度为2的李代数，因为 $\mathop{\mathrm{HC}}\nolimits_{*}(A,A)[-1]$ 从BV结构继承了一个李括号。
• 括号 $\{f, \alpha\}$ 映射到 $\mathop{\mathrm{HH}}\nolimits^{-1}_{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits}(A,A)$，且在 $\mu^*$ 下的像为零，从而确认了BV结构。