[논문 리뷰] Singular Kahler-Einstein metrics

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj외 1명|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|2006. 03. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 33인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 큰 준양성 형태와 $L^p$-밀도 측도를 가진 컴acts Kähler 다양체 위에서 탈중립성 복소 Monge-Ampère 방정식의 유계이고 연속적인 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 주요 기여는 klt 쌍과 일반 유형의 캐논리컬 모델에서 비양성 curvature를 가진 특이 Kähler-Einstein 계량을 구성하는 것으로, 이는 닫힌 해석적 부분집합을 제외한 곳에서 정칙성을 가진다.

ABSTRACT

We study degenerate complex Monge-Ampère equations of the form $(ω+dd^c φ)^n = e^{t φ} μ$ where $ω$ is a big semi-positive form on a compact Kähler manifold $X$ of dimension $n$, $t \in \R^+$, and $μ=fω^n$ is a positive measure with density $f\in L^p(X,ω^n)$, $p>1$. We prove the existence and unicity of bounded $ω$-plurisubharmonic solutions. We also prove that the solution is continuous under a further technical condition. In case $X$ is projective and $ω=ψ^*ω'$, where $ψ:X o V$ is a proper birational morphism to a normal projective variety, $[ω']\in NS_{\R} (V)$ is an ample class and $μ$ has only algebraic singularities, we prove that the solution is smooth in the regular locus of the equation. We use these results to construct singular Kähler-Einstein metrics of non-positive curvature on projective klt pairs, in particular on canonical models of algebraic varieties of general type.

연구 동기 및 목표

• 일반 유형의 캐논리컬 모델에서 스무스 또는 특이 계량을 가진 경우에 Yau의 Calabi 추측 해법을 특이 및 탈중립성 설정으로 확장한다.
• 스무스 Calabi-Yau 또는 오비폴드 사례를 초월하여 고차원 대수기하학에서 Kähler-Einstein 계량의 만족스러운 유사체계가 부족한 문제를 해결한다.
• 기저 다양체가 특이성을 가질 경우에도 klt 쌍과 캐논리컬 모델에서 둔감한 잠재력과 함께 특이 Kähler-Einstein 계량의 존재성을 확립한다.
• 적절한 기술적 조건 하에서 탈중립성 복소 Monge-Ampère 방정식의 해가 유계이고 연속적임을 증명하여 캐논리컬 계량의 구성이 가능하게 한다.
• 특이 다양체에 대해 최소 모델 프로그램을 통해 Kähler-Einstein 계량의 존재성을 일반화하며, 특히 캐논리컬 또는 klt 특이성을 가진 일반 유형의 다양체에 대해 적용한다.

제안 방법

• 큰 준양성 형태 $\omega$ 와 $f \in L^p(X, \omega^n)$, $p > 1$ 인 경우, $(\omega + dd^c\varphi)^n = f\omega^n$ 형태의 탈중립성 복소 Monge-Ampère 방정식의 약한 해를 정의한다.
• Kolodziej의 $L^p$-추정과 [GZ1, GZ2]에서 개발된 복소포텐셜 이론을 사용하여, 유계 $\omega$-다중하중함수 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 연속적인 근사 성질을 통해 해의 연속성을 확립한다. 이는 $\varphi$로 점별 수렴하는 연속적인 $\omega$-psh 함수의 감소 수열이 존재해야 한다는 조건을 수반한다.
• 만약 $\omega = \psi^*\omega'$ 이고, $\psi: X \to V$ 는 정규 프로젝티브 다양체로의 비자명한 사상이며 $\mu$ 가 대수적 특이성을 가질 경우, 해 $\varphi$ 는 정칙 국소에서 스무스가 됨을 증명한다.
• 이 결과들을 최소 모델 프로그램을 통해 일반 유형의 캐논리컬 모델과 klt 쌍에서 특이 Kähler-Einstein 계량을 구성하는 데 적용한다.
• [Ts]와 [TZ]에서의 Kähler-Ricci 흐름 수렴 결과를 활용하여, 극한 현재가 Monge-Ampère 방정식을 만족하고, 정리 7.8의 해와 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 코hom로지 클래스에서 $L^p$-밀도 우변을 가진 탈중립성 복소 Monge-Ampère 방정식에 대해, 해를 유계이고 연속적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 탈중립성 Monge-Ampère 방정식의 해가 어떤 조건에서 연속적이거나 스무스한가?
• RQ3 스무스하거나 오비폴드가 아닌 경우에도 일반 유형의 캐논리컬 모델에서 특이 Kähler-Einstein 계량을 구성할 수 있는가?
• RQ4 klt 쌍에서의 탈중립성 Monge-Ampère 방정식의 해가 캐논리컬 클래스의 캐논리컬 계량과 대응하는가?
• RQ5 $L^p$-밀도를 가진 Monge-Ampère 방정식의 해가 근사에 대해 안정적이고 $L^p$-위상에서 연속적인가?

주요 결과

• $f \in L^p(X, \omega^n)$, $p > 1$ 이면, 탈중립성 복소 Monge-Ampère 방정식 $(\omega + dd^c\varphi)^n = f\omega^n$ 은 $\sup_X \varphi = -1$ 를 만족하는 고유한 유계 $\omega$-다중하중함수 해 $\varphi$ 를 가진다.
• 연속적인 근사 성질이 성립할 경우, 즉 연속적인 $\omega$-psh 함수의 감소 수열이 $\varphi$ 로 점별 수렴하고, 해 매핑 $f \mapsto \varphi$ 가 $L^p$ 에서 $L^\infty$ 로 연속이면, 해 $\varphi$ 는 연속적이다.
• $\omega = \psi^*\omega'$ 이고, $\psi: X \to V$ 가 비자명한 사상이며 $\mu$ 가 대수적 특이성을 가질 경우, 해 $\varphi$ 는 방정식의 정칙 국소에서 스무스가 된다.
• 일반 유형의 프로젝티브 다양체 $V$ 에서 $K_V$ 가 앰플리피어하고, $V$ 가 캐논리컬 특이성만을 가질 경우, 캐논리컬 클래스에 속하는 고유한 특이 Kähler-Einstein 계량 $\Omega + dd^c\varphi$ 가 존재하며, 이는 음의 곡률을 가진다. 여기서 $\varphi \in L^\infty(V)$ 이다.
• 특이 Kähler-Einstein 현재는 국소적으로 유계 잠재력을 가지며, $V^{\text{reg}}$ 에서 스무스하고, [TZ]에서 보여진 것처럼 Kähler-Ricci 흐름의 극한과 일치한다.
• klt 쌍 $(V, \Delta)$ 에 대해, $K_V + \Delta$ 가 앰플리피어하거나 $\mathbb{Q}$-CY 이면, $K_V + \Delta$ 의 클래스에 속하는 고유한 특이 KE 계량이 존재한다. 이는 $\Delta \cup V^{\text{sing}}$ 외부에서 스무스하며, $\Delta$ 가 snc 지지부를 가지며 중복도가 $1 - 1/n$ 인 $V^o$ 에서 스택 $[V^o, \Delta \cap V^o]$ 에서도 스무스하다.