[논문 리뷰] Singular limits of Kähler-Ricci flow on Fano $G$-manifolds

Yan Li, Gang Tian외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 카플러-아인슈타인 계량이 없는 팔로만니드에서 $K\times K$-불변 초기 계량을 갖는 카플러-리치 흐름이 유형 II 특이성을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 팔로만니드에서 유형 II 특이성을 갖는 첫 번째 알려진 예를 제공한다. 결과적으로 오랜 기간 동안 제기된 추측을 해결하며, 대칭 기하학과 대칭 공간에서 리치 흐름의 수렴 분석을 통해 유형 II 해가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we prove that any solution of Kähler-Ricci flow on a Fano compactification $M$ of semisimple complex Lie group, is of type II, if $M$ admits no Kähler-Einstein metrics. As an application, we found two Fano compactifications of $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ and one Fano compactification of $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$, on which the Kähler-Ricci flow will develop singularities of type II. To the authors' knowledge, these are the first examples of Ricci flow with singularities of type II on Fano manifolds in the literature.

연구 동기 및 목표

• 팔로만니드에서 카플러-리치 흐름이 유형 II 특이성을 갖지 못한다는 오랫동안 널리 퍼진 추측을 해결하기 위해.
• 카플러-리치 흐름이 유형 II 행동을 보이는 팔로만니드의 명시적 예를 구성하기 위해.
• 카플러-아인슈타인 계량이 존재하지 않으면서 $K\times K$-불변 초기 자료 하에서 유형 II 특이성 발생이 유도됨을 확립하기 위해.
• 햄일턴-티안 추측의 정규성 분석을 확장하여, 대칭 제약 조건 하에서도 극한 공간이 매끄러운 솔리톤이 아닐 수 있음을 증명하기 위해.

제안 방법

• 복소 단순형 리 군 $G$와 그 최대 컴act 부분군 $K$를 갖는 팔로만니드 $G$-다양체에서 $K\times K$-불변 초기 계량을 갖는 정규화된 카플러-리치 흐름을 분석한다.
• 포물선 부분 $C^0$-추정과 그로모프-하우스도르프 수렴을 이용하여 흐름 하에서 극한 공간 $M_\infty$를 연구한다.
• 관련 다각형 $P \subset \mathfrak{a}^*$를 통한 $G$-콤���팩티피케이션의 등변 분류를 적용하여 극한 계량 $\omega_\infty$를 특성화한다.
• 잠재 함수 $\psi^\infty$의 기울기의 상사가 $2P$와 일치함을 증명함으로써 극한이 원래 다양체와 바이홀로모르피크하다는 것을 보장한다.
• 체적 수렴 정리(Colding)와 비붕괴성(Perelman)을 활용하여 경계 근처의 질량 집중을 배제함으로써, 상사의 비유한성은 특이성을 보장한다.
• $K\times K$-불변 함수의 유일성과 와이울 대칭성을 활용하여 극한 잠재함수를 $\mathfrak{a}$ 위의 전역적으로 정의된 볼록 함수로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 팔로만니드에서 카플러-리치 흐름이 유형 II 특이성을 갖는가? 이는 오랫동안 유형 I 해만 존재한다는 믿음과 모순된다.
• RQ2 팔로만니드 $G$-다양체에서 $K\times K$-불변 초기 계량을 갖는 카플러-리치 흐름이 유형 II가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 다양체에서 카플러-리치 흐름의 극한 공간은 매끄러운 카플러-리치 솔리톤인가, 아니면 매끄럽지 않을 수 있는가?
• RQ4 $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ 및 $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$의 팔로만니드 콤팩티피케이션은 유형 II 카플러-리치 흐름 해를 갖는가?
• RQ5 햄일턴-티안 추측의 극한 공간 $M_\infty$는 대칭 조건 하에서도 매끄러운 카플러-리치 솔리톤이 아닐 수 있는가?

주요 결과

• 카플러-아인슈타인 계량이 없는 어떤 팔로만니드 $G$-다양체에서 $K\times K$-불변 초기 계량을 갖는 카플러-리치 흐름은 유형 II이다.
• 두 개의 $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ 콤팩티피케이션과 하나의 $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$ 콤팩티피케이션에서 카플러-리치 흐름이 유형 II 특이성을 갖는다.
• 유형 II 특이성에도 불구하고, 관련 다각형의 식별을 통해 극한 공간 $M_\infty$는 원래 다양체 $M$과 바이홀로모르피크하다.
• 극한 잠재함수 $\psi^\infty$의 기울기 상사가 정확히 $2P$이며, 초기 다각형과 동일함을 증명함으로써 극한이 열화되지 않았음을 보여준다.
• 햄일턴-티안 추측의 특이 집합 $S$는 이 예에서 비어 있지 않으며, 이는 $M_\infty$가 매끄러운 카플러-리치 솔리톤이 아님을 의미한다.
• 결과는 복소 재수성 $G$로 일반화되며, 카플러-리치 솔리톤이 존재하지 않으면 유형 II 흐름이 유도됨을 보여준다.