[论文解读] $sl_n$ level 1 conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$

Maxim Arap, Angela Gibney+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文研究了由 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块导出的模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上的对称、半正则除子。计算了这些除子的类，证明其在对称内幅锥中生成极小射线，并表明其对应的态射可因袭哈塞特点的加权点丛模空间，从而通过约化态射为这些除子提供了几何实现。

ABSTRACT

We study a family of semiample divisors on the moduli space $\bar{M}_{0,n}$ that come from the theory of conformal blocks for the Lie algebra $sl_n$ and level 1. The divisors we study are invariant under the action of $S_n$ on $\bar{M}_{0,n}$. We compute their classes and prove that they generate extremal rays in the cone of symmetric nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$. In particular, these divisors define birational contractions of $\bar{M}_{0,n}$, which we show factor through reduction morphisms to moduli spaces of weighted pointed curves defined by Hassett.

研究动机与目标

• 理解由 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块导出的 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上对称除子的几何与数值性质。
• 计算这些除子在 Néron-Severi 群中的类，并确定其在对称内幅锥中的位置。
• 建立这些除子定义的双有理收缩态射可因袭哈塞特点的约化态射至加权点丛模空间。
• 证明除子 $D^{n}_{1,j}$ 在 $j = 2, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor$ 时在对称内幅锥中生成极小射线。

提出的方法

• 作者利用 $\mathfrak{sl}_n$ 在 1 级时的共形块理论，其中相关向量丛的秩为 1，从而在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上定义除子 $D^{n}_{1,j}$。
• 他们使用法赫鲁丁的递推公式计算这些除子的类，并通过 ConfBlocks Macaulay2 包实现。
• 他们确定了与每个除子相关的最小哈塞特点空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$，并证明态射可因袭相应的约化态射 $\rho_{\mathcal{A},N}$。
• 他们构造了一个包含 $\lfloor n/2 \rfloor - 1$ 个独立 $F$-曲线的族 $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$，这些曲线与 $D^{n}_{1,j}$ 的交数为零，利用的是命题 4.1 中的 $F$-曲线基。
• 通过证明任何非平凡的非负线性组合 $D^{n}_{1,j}$ 与 $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ 中的 $F$-曲线都会违反交积的非负性，从而证明其极小性。
• 他们通过显式矩阵计算和案例分析（图 3–4）验证了 $F$-曲线的线性无关性以及除子类的极小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块导出的 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上的除子是否在对称内幅锥中生成极小射线？
• RQ2 由这些除子定义的态射是否可因袭哈塞特点的约化态射至加权点丛模空间？
• RQ3 $D^{n}_{1,j}$ 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的 Néron-Severi 群中的精确类是什么？
• RQ4 $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ 中的 $F$-曲线如何与 $D^{n}_{1,j}$ 的极小性相关？
• RQ5 $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ 中的 $F$-曲线在 $H_2(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}, \mathbb{Q})$ 中是否线性无关？

主要发现

• 对于 $j = 2, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor$，除子 $D^{n}_{1,j}$ 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的对称内幅锥中生成极小射线，其证明基于构造了一个包含 $\lfloor n/2 \rfloor - 1$ 个独立 $F$-曲线的族，这些曲线与除子的交数为零。
• 与 $D^{n}_{1,j}$ 关联的态射 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n} \to X$ 可因袭约化态射 $\rho_{\mathcal{A},N}: \overline{\mathcal{M}}_{0,n} \to \overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$ 至由除子确定的最小哈塞特点空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$。
• $D^{n}_{1,j}$ 的类在 Néron-Severi 群中被显式计算，且位于对称内幅锥中，确认了其全局生成性与双有理性。
• $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ 族由 $\lfloor n/2 \rfloor - 1$ 个独立 $F$-曲线组成，每条曲线与 $D^{n}_{1,j}$ 的交数为零，这对证明极小性至关重要。
• 极小性证明依赖于命题 4.1 中的 $F$-曲线基，以及对 13 种矩阵构型（图 3–4）的详细案例分析，从而确认了线性无关性。
• 该结果将法赫鲁丁早期关于 $\mathfrak{sl}_2$ 的因袭结果推广至 $\mathfrak{sl}_n$ 在 1 级的情形，通过哈塞特点的模空间为共形块除子提供了新的几何解释。