[논문 리뷰] Slice theorem for Fréchet group actions and covariant symplectic field theory

Tobias Diez|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 볼록 공간 위에 구조가 설정된 무한차원 다변량에서 미분 형식에 대한 엄밀한 프레임워크를 개발한다. 이는 모델 공간이 노름 가능하지 않은 경우 코탄젠트 배럴이 스무스 구조를 갖지 못하는 데서 기인하는 문제를 다룬다. 스무스 구조를 갖는 배럴 섹션 대신 국소 표현의 스무스성에 의해 미분 형식을 정의함으로써, 이 설정에서 외부 도함수, 외적 곱, 그리고 수축을 확립한다. 이는 공변 해밀토니안 미분장 이론과 프레셰 군 작용의 슬라이스 정리 개발을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A general slice theorem for the action of a Fréchet Lie group on a Fréchet manifolds is established. The Nash-Moser theorem provides the fundamental tool to generalize the result of Palais to this infinite-dimensional setting. The presented slice theorem is illustrated by its application to gauge theories: the action of the gauge transformation group admits smooth slices at every point and thus the gauge orbit space is stratified by Fréchet manifolds. Furthermore, a covariant and symplectic formulation of classical field theory is proposed and extensively discussed. At the root of this novel framework is the incorporation of field degrees of freedom F and spacetime M into the product manifold F * M. The induced bigrading of differential forms is used in order to carry over the usual symplectic theory to this new setting. The examples of the Klein-Gordon field and general Yang-Mills theory illustrate that the presented approach conveniently handles the occurring symmetries.

연구 동기 및 목표

• 모델 공간이 노름 가능하지 않은 경우 무한차원 다변량의 코탄젠트 배럴이 스무스 구조를 갖지 못하는 문제를 해결하기 위해.
• 코탄젠트 배럴의 미분 구조가 필요 없도록, 대수적으로 기반을 둔, 다른 정의 방식을 제공하기 위해.
• 외부 도함수, 외적 곱, 수축과 같은 표준 연산을 국소 대표자의 스무스성에 기반해 무한차원 설정으로 확장하기 위해.
• 공변 해밀토니안 미분장 이론과 프레셰 군 작용의 슬라이스 정리를 지원하기 위해, 탄탄한 미적분학적 기초를 마련하기 위해.
• 비노름 가능한 설정에서 스무스성을 다루기 위해, 전통적 미적분학 대신 유용한 미적분학(Kriegl-Michor)의 사용을 정당화하기 위해.

제안 방법

• 값이 국소적으로 볼록 공간 $V$인 $k$-형식을 $\Lambda^k(M,V) = \bigsqcup_{m\in M} \Lambda^k((T_mM)^",V)$ 로 정의한 집합론적 배럴의 단면으로 정의한다.
• 지역 표현 $U \times E^k \to V$ 가 $\alpha(x, X^{(1)}, \dots, X^{(k)}) = \alpha_{\kappa^{-1}(x)}((\kappa^{-1})'_x X^{(1)}, \dots)$ 로 주어질 때, 이 표현이 편의 미적분학의 의미에서 스무스이면 단면 $\alpha$ 를 스무스로 간주한다.
• 외부 도함수의 국소 표현을 $ (\mathrm{d}\alpha)_m(X^{(0)}_m, \dots, X^{(k)}_m) = \sum_{i=0}^k (-1)^i (\mathrm{d}_1\alpha)_m(X^{(i)}_m; X^{(0)}_m, \dots, \widehat{X^{(i)}}_m, \dots, X^{(k)}_m) $ 로 사용하여 스무스성과 반대칭성을 보장한다.
• 편의 미적분학 프레임워크(Kriegl-Michor)를 활용하여, 이중 공간 $E'$ 가 다양체로 만들 수 있는 위상가 없더라도 $ (x,\alpha) \mapsto \alpha \circ \psi'_x $ 와 같은 사상이 스무스가 되도록 보장한다.
• 유량이나 벡터장 역학에 의존하지 않고 기하학적 일致성을 유지하기 위해, 국소 좌표 기반 구성 대신 대수적 항등식(예: 카르탕의 공식)을 사용한다.
• 외적 곱, 외부 도함수, 수축과 같은 표준 연산들이 국소 대표자의 스무스성에 기반해 무한차원 설정으로 이식될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코탄젠트 배럴이 스무스 구조를 갖지 못할 경우, 무한차원 다변량에서 미분 형식을 일관적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 코탄젠트 배럴에 미분 구조가 없을 경우, 외부 도함수는 어떻게 정의하고, 그것이 스무스함을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ3 무한차원 설정에서 표준적인 미분 형식 연산들(외적 곱, 수축 등)이 어느 정도 유지될 수 있는가?
• RQ4 편의 미적분학(Kriegl-Michor)의 프레임워크를 사용해, 이중 공간이 노름 가능하지 않은 경우에도 스무스한 미분 형식을 정의할 수 있는가?
• RQ5 대수적 항등식(예: 카르탕의 공식)은 무한차원 기하학에서 국소적 또는 역학적 정의를 대체하기 위해 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 노름 가능하지 않은 국소적으로 볼록 공간 위에 구조가 설정된 다변량의 코탄젠트 배럴 $T^*M$ 는, $E'$ 에 어떤 벡터 공간 위상가 있더라도 $E' \times E \to \mathbb{R}$ 의 평가 사상이 0에서 불연속이므로 스무스 구조를 지닐 수 없다.
• 모델 공간 $E$ 가 노름 가능하지 않다면, 미분형사 $\psi$ 에서 유도된 사상 $ (x,\alpha) \mapsto \alpha \circ \psi'_x $ 는 이중 공간 $E'$ 에서 연속적이지 않으며, 따라서 스무스하지 않다. 이는 코탄젠트 배럴을 스무스 배럴로 구성하는 표준 방법을 무효화한다.
• 코탄젠트 배럴이 스무스 배럴로 성립하지 않음에도 불구하고, 국소 표현 $ U \times E^k \to V $ 의 스무스성에 기반해 미분 형식을 여전히 정의할 수 있으며, 이 표현은 편의 미적분학에서 잘 정의되어 있다.
• 외부 도함수 $\mathrm{d}\alpha$ 는 국소 공식을 통해 $\mathrm{d}_1\alpha$ 를 포함하여 잘 정의되고, 스무스하며 반대칭성과 확장에 대한 독립성을 보장한다.
• 편의 미적분학의 사용 덕분에, $ (x,\alpha) \mapsto \alpha \circ \psi'_x $ 는 연속적이지 않더라도 스무스가 되며, 이는 스무스한 미분 형식을 정의하는 데서 발생하는 장애를 해결한다.
• 외적 곱, 외부 도함수, 수축과 같은 표준 연산들은 국소 대표자의 스무스성에 기반해 무한차원 설정으로 이식될 수 있으며, 배럴 기하학에 의존하지 않는다.