[논문 리뷰] Sliding mode control for a generalization of the Caginalp phase-field system

Pierluigi Colli, Davide Manini|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 04.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 35인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 열변위를 Green-Naghdi 및 Podio-Guidugli 이론을 통해 포함한 Caginalp 상전이계의 두 번째 차수 일반화에 대해 슬라이딩 모드 제어(SMC)를 개발한다. 적절한 제어 법칙과 정규성 조건 하에서, 슬라이딩 다각형으로의 존재성, 유일성, 연속적 의존성 및 유한 시간 수렴을 증명한다. 슬라이딩 다각형은 온도와 상변수 간의 선형 제약 조건 또는 사전 정의된 상분포일 수 있다.

ABSTRACT

In the present paper, we present and solve the sliding mode control (SMC) problem for a second-order generalization of the Caginalp phase-field system. This generalization, inspired by the theories developed by Green and Naghdi on one side, and Podio-Guidugli on the other, deals with the concept of thermal displacement, i.e., a primitive with respect to the time of the temperature. Two control laws are considered: the former forces the solution to reach a sliding manifold described by a linear constraint between the temperature and the phase variable; the latter forces the phase variable to reach a prescribed distribution $\varphi^*$. We prove existence, uniqueness as well as continuous dependence of the solutions for both problems; two regularity results are also given. We also prove that, under suitable conditions, the solutions reach the sliding manifold within finite time.

연구 동기 및 목표

• 열변위를 포함한 Caginalp 상전이계의 두 번째 차수 일반화에 슬라이딩 모드 제어(SMC)를 확장한다.
• 온도와 상변수 간의 선형 제약 조건으로 정의된 슬라이딩 다각형에 도달하고 유지하도록 하는 상태 피드백 제어 법칙을 설계한다.
• 상변수 ϕ가 목표 분포 ϕ∗으로 도달하고 유지하도록 하는 제어 법칙을 설계한다.
• 제안된 SMC 프레임워크 하에서 해의 존재성, 유일성, 연속적 의존성 및 정규성을 확립한다.
• 제어 파rameter에 대한 적절한 조건 하에서, 시스템 궤적이 슬라이딩 다각형으로 유한 시간 내에 수렴함을 증명한다.

제안 방법

• Green-Naghdi 및 Podio-Guidugli 열역학 이론을 기반으로, 온도 ϑ의 시간 적분으로 정의된 열변위 w를 사용하여 일반화된 Caginalp 상전이계를 수립한다.
• 두 가지 제어 법칙을 도입한다: 하나는 ϑ와 ϕ 간의 선형 제약 조건을 통해 슬라이딩 다각형을 강제로 만들고, 다른 하나는 ϕ를 목표 ϕ∗으로 유도한다.
• 비연속적인 부호 함수를 다룰 수 있도록 Yosida 정규화(Signε)를 사용하여, 페널티 근사법을 통한 분석을 가능하게 한다.
• 정규화된 시스템에 대해 변분 형식과 에너지 추정을 유도하며, 힐버트 공간 내의 약한 형식을 활용한다.
• Gronwall 유형 및 미분부등식 기법을 적용하여, 상태가 슬라이딩 다각형으로 유한 시간 내에 수렴함을 증명한다.
• 노름의 약한 하부 연속성 및 Lebesgue의 점근 수렴 정리(Lebesgue's dominated convergence theorem)를 사용하여 정규화된 방정식에서 극한을 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열변위를 포함한 Caginalp 상전이계의 두 번째 차수 일반화에 대해 슬라이딩 모드 제어가 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 제안된 제어 법칙 하에서, 시스템 상태가 유한 시간 내에 슬라이딩 다각형에 도달하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제어된 상전이계의 해에 대해 존재성, 유일성 및 정규성 성질은 무엇인가?
• RQ4 비연속 항과 비선형성에도 불구하고, 제어 법칙은 어떻게 강건성과 유한 시간 수렴을 보장하는가?
• RQ5 정규화 파rameter ε과 제어 이득 ρ는 수렴성과 안정성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 두 제어 문제 모두에 대해 유일한 해가 존재하며, 초기 자료와 파rameter에 대해 연속적 의존성을 만족한다.
• 해는 두 가지 정규성 결과를 만족한다: 하나는 온도 및 상변수에 대한 것이고, 다른 하나는 열변위와 그 시간 도함수에 대한 것이다.
• 슬라이딩 다각형으로의 유한 시간 수렴이 증명된다: 문제 (A)의 경우, 상태는 시간 T∗ < T 내에 다각형에 도달하며, T∗ ≤ (2ψ₀)/(ρ − 2C₅ − C₅²/2)를 만족한다. 여기서 ψ₀ = ∥ϑ₀ + α − η∗∥_H이다.
• 문제 (B)의 경우, T∗ ≤ ψ₀/(ρ − C₁₀)를 만족하며, ψ₀ = ∥ϕ₀ − ϕ∗∥_H이다.
• 유한 시간 수렴을 보장하기 위해 제어 이득 ρ는 임계값 ρ∗를 초과해야 하며, ρ∗는 시스템 파rameter와 시간 범위에 대해 명시적으로 정의된다.
• 수렴은 강건하다: 분석은 비연속 잠재력(예: 미분 불가능한 이중우물 잠재력)과 비국소 제어 항이 존재하는 경우에도 성립한다.