[논문 리뷰] Smarandache Rings

W. B. Vasantha Kandasamy|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 10.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 5인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 링 안에 더 강력한 대수적 성질을 가진 진부분집합을 포함하는 새로운 대수적 구조인 스마랜드체 링(Smarandache Rings)을 소개한다. 구체적으로, S-링 I는 유도된 연산 하에서 체를 이루는 진부분집합을 포함하며, S-링 II는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있고 영곱 성질을 만족하는 부분집합을 포함한다. 주요 기여는 이러한 하이브리드 대수적 구조를 공식화하여 혼합된 성질을 가진 실제 세계의 구조를 모델링하는 데 있다.

ABSTRACT

Generally, in any human field, a Smarandache Structure on a set A means a weak structure W on A such that there exists a proper subset B which is embedded with a stronger structure S. By proper subset one understands a set included in A, different from the empty set, from the unit element if any, and from A. These types of structures occur in our everyday's life thats why we study them in this book. Thus, as two particular cases: A Smarandache Ring of level I (S-ring I) is a ring R that contains a proper subset that is a field with respect to the operations induced. A Smarandache Ring of level II (S-ring II) is a ring R that contains a proper subset A that verifies: A is an additive abelian group; A is a semigroup under multiplication, for a, b belonging to A, a . b = 0 if and only if a = 0 or b = 0.

연구 동기 및 목표

• 더 강력한 대칭 부분집합을 내장한 새로운 종류의 링을 공식화하기 위해.
• 그들의 진부분집합의 구조에 기반해 스마랜드 링의 두 수준을 정의하고 구별하기 위해.
• 이러한 구조의 존재성과 실세계의 혼합된 대수적 성질을 가진 시스템을 모델링하는 데의 관련성을 입증하기 위해.
• 부분적으로는 강력한 하위구조를 가진 링에 대한 향후 연구를 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 스마랜드 링 수준 I(S-링 I)를 정의한다: 링 R이 R의 유도된 연산 하에서 체를 이루는 진부분집합을 포함하는 경우로 정의한다.
• 스마랜드 링 수준 II(S-링 II)를 정의한다: 링 R이 덧셈에 대해 아벨 군이자 곱셈에 대해 준군이며 영곱 성질을 만족하는 진부분집합 A를 포함하는 경우로 정의한다.
• 진부분집합 개념을 사용하여 내장된 구조가 비자명하고 전체 링과 구별되도록 보장한다.
• 전체 집합 R에 대해 표준 링 공리를 적용하면서, 더 강력한 공리는 오직 부분집합에서만 검증한다.
• 전체 링의 약한 링 구조와 진부분집합의 더 강력한 하위구조 사이의 상호작용을 분석한다.
• 혼합된 대수적 행동이 공존하는 일상적인 맥락에서 이러한 구조의 관련성을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건을 만족해야 링이 그의 연산 하에서 체를 이루는 진부분집합을 포함하는가?
• RQ2 어떻게 링이 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있고 영곱 성질을 만족하지만 반드시 체는 아니 되는 진부분집합을 포함할 수 있는가?
• RQ3 강력한 대수적 구조를 가진 진부분집합이 링 내에 존재할 경우 어떤 함의가 있는가?
• RQ4 스마랜드 링 수준 I과 II는 그 대수적 성질과 응용에서 어떻게 다를까?
• RQ5 어떤 방식으로 이러한 구조들은 혼합되거나 하이브리드된 대수적 행동을 보이는 실세계 현상을 모델링하는가?

주요 결과

• 스마랜드 링 수준 I는 링이 그의 연산 하에서 체를 이루는 진부분집합을 포함할 경우 존재한다. 이는 해당 부분집합 내에서 모든 체 공리가 만족됨을 의미한다.
• 스마랜드 링 수준 II는 링이 덧셈에 대해 아벨 군이자 곱셈에 대해 준군이며 영곱 성질을 만족하는 진부분집합을 포함할 경우 존재한다.
• 두 경우 모두 진부분집합은 전체 링보다 엄격히 작으며, 공집합이나 단위원소와 같은 자명한 경우를 제외한다.
• 이러한 구조의 존재는 링이 체나 영곱 준군과 같은 더 강력한 대수적 체계를 내장할 수 있음을 보여준다.
• 이러한 링은 부분적으로 대수적 닫힘과 더 강력한 성질이 공존하는 시스템을 모델링하기 위한 공식적 프레임워크를 제공한다.
• 이 논문은 하이브리드 대수적 구조의 수학적 및 응용 분야에서의 향후 탐구를 가능하게 하는 기본 정의를 수립한다.