[论文解读] Sobolev functions on closed subsets of the real line: long version

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提供了用于刻画 Sobolev 空间 $W_p^m(\mathbb{R})$ 和齐次 Sobolev 空间 $L_p^m(\mathbb{R})$ 在任意闭子集 $E \subset \mathbb{R}$ 上迹空间的内在、变分准则。它证明了经典 Whitney 延拓算子对 $L_p^m$-延拓是普遍最优的，其算子范数仅依赖于 $m$ 而有界；并引入了一种通过 $m$ 阶差商定义的范数，该范数与迹范数等价，常数仅依赖于 $m$。关键结果是一个基于 $E$ 上有限子集上差商的 $L^p$-范数的精确、构造性迹准则。本文还将这些结果推广到极限情形 $p=\infty$，并讨论了延拓算子的有限性原理与乘法常数。

ABSTRACT

For each $p>1$ and each positive integer $m$ we give intrinsic characterizations of the restriction of the Sobolev space $W^m_p(R)$ and homogeneous Sobolev space $L^m_p(R)$ to an arbitrary closed subset $E$ of the real line. In particular, we show that the classical one dimensional Whitney extension operator is "universal" for the scale of $L^m_p(R)$ spaces in the following sense: for every $p\in(1,\infty]$ it provides almost optimal $L^m_p$-extensions of functions defined on $E$. The operator norm of this extension operator is bounded by a constant depending only on $m$. This enables us to prove several constructive $W^m_p$- and $L^m_p$-extension criteria expressed in terms of $m^{th}$ order divided differences of functions.

研究动机与目标

• 为确定定义在闭子集 $E \subset \mathbb{R}$ 上的函数是否可延拓为 $W_p^m(\mathbb{R})$ 中的函数（$p \in (1, \infty)$）提供内在、构造性准则。
• 刻画给定函数 $f$ 在 $E$ 上的所有延拓中 $W_p^m(\mathbb{R})$-范数的最小值，即迹范数 $\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E}$。
• 证明经典 Whitney 延拓算子对所有 $p \in (1, \infty]$ 的 $L_p^m(\mathbb{R})$-延拓是普遍最优的，其算子范数仅依赖于 $m$。
• 建立 $W_p^m(\mathbb{R})|_E$ 的迹空间的有限性原理，表明全局迹范数由 $E$ 上所有有限子集的局部 $L^p$-范数中 $m$ 阶差商的上确界控制。

提出的方法

• 本文引入一个变分半范数 $\mathcal{W}_{m,p}(f:E)$，定义为所有 $E$ 中递增的 $m$-元组上 $m$ 阶差商的 $L^p$-范数，权重为 $\min\{1, x_{i+m} - x_i\}$。
• 证明 $\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E} \sim \mathcal{W}_{m,p}(f:E)$，常数仅依赖于 $m$，从而建立一个构造性迹准则。
• 证明依赖于 Whitney 延拓算子，该算子被证明对 $L_p^m(\mathbb{R})$-延拓几乎最优，其算子范数在 $m$ 的范围内一致有界。
• 对于离散集 $E = \{x_i\}_{i=\ell_1}^{\ell_2}$，准则被改进为在整个序列上的求和，索引范围调整为 $m_E = \min\{m, \#E - 1\}$。
• 本文将分析扩展到极限情形 $p = \infty$，引入有限性原理与乘法有限性常数 $\gamma^\sharp(N; W^m_\infty(\mathbb{R}^n))$。
• 讨论了精确的有限性数 $N^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R}^n))$，并为其值提供界与猜想，特别是针对 $n=1$ 和 $n=2$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，定义在闭子集 $E \subset \mathbb{R}$ 上的函数 $f$ 可以延拓为 $W_p^m(\mathbb{R})$ 中的函数（$p \in (1, \infty)$）？
• RQ2 函数 $f$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有延拓中，$W_p^m(\mathbb{R})$-范数的最小可能值是什么？如何从内在角度刻画它？
• RQ3 经典 Whitney 延拓算子是否对所有 $p \in (1, \infty]$ 的 $L_p^m(\mathbb{R})$-延拓都是普遍最优的？
• RQ4 迹空间 $W_p^m(\mathbb{R})|_E$ 是否能通过有限性原理刻画，即仅通过测试 $E$ 的有限子集？
• RQ5 对于 $W^m_\infty(\mathbb{R}^n)$ 和 $L^m_\infty(\mathbb{R}^n)$，精确的有限性数与乘法常数是什么？它们的渐近行为如何？

主要发现

• 迹空间 $W_p^m(\mathbb{R})|_E$ 由半范数 $\mathcal{W}_{m,p}(f:E)$ 的有限性刻画，该半范数定义为所有 $E$ 中递增的 $m$-元组上 $m$ 阶差商的 $L^p$-范数，权重为每组中首尾点之间的最小距离。
• 迹范数 $\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E}$ 与 $\mathcal{W}_{m,p}(f:E)$ 等价，常数仅依赖于 $m$，从而提供了可延拓性的精确、构造性准则。
• 经典 Whitney 延拓算子对 $L_p^m(\mathbb{R})$-延拓是普遍最优的：其算子范数仅依赖于 $m$，与 $p$ 和 $E$ 无关。
• 对于离散集 $E = \{x_i\}_{i=\ell_1}^{\ell_2}$，准则简化为在整个序列上的求和，索引范围上限为 $m_E = \min\{m, \#E - 1\}$，从而得到精确等价关系 $\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E} \sim \widetilde{\mathcal{W}}_{m,p}(f:E)$。
• 对于 $p = \infty$，本文建立了有限性原理，精确有限性数为 $N^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R})) = m+1$，并证明 $\gamma^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R}))$ 有限且与 $m$ 无关。
• 本文对高维情形提出了精确有限性数的猜想：$N^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R}^{n+1})) = \prod_{k=1}^{m+1} k^{\binom{m+n-k}{n-1}}$，并证明 $\lim_{N \to \infty} \gamma^\sharp(N; W^2_\infty(\mathbb{R}^2)) > 1$，意味着乘法有限性常数不收敛于 1。