[논문 리뷰] Soft Cone Metric Spaces and Some Fixed Point Theorems

İsmet Altıntaş, Kemal Taşköprü|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 05.

Fixed Point Theorems Analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소프트 원소를 사용하여 원추 거리공간과 소프트 거리공간의 일반화로 소프트 원추 거리공간을 도입하며, 수렴성과 코시 수열 성질을 설정한다. 다양한 조건 하에서 수축 사상에 대한 고정 소프트 원소 정리들을 증명하며, 특히 $ ilde{t} < rac{1}{2}$ 또는 $ ilde{t} + ilde{r} < 1$와 같은 특정 소프트 상수 제약 조건 하에서 고정 소프트 원소의 존재성과 유일성을 보여준다. 결과적으로 고전적 고정점 이론이 불확실성을 다루는 소프트 구조적 환경으로 확장된다.

ABSTRACT

This paper is an introduction to soft cone metric spaces. We define the concept of soft cone metric via soft element, investigate soft converges in soft cone metric spaces and prove some fixed point theorems for contractive mappings on soft cone metric spaces.

연구 동기 및 목표

• 소프트 원소를 사용하여 원추 거리공간과 소프트 거리공간을 일반화함으로써 새로운 수학적 프레임워크—소프트 원추 거리공간—을 도입하는 것.
• 소프트 원추 거리공간 내에서 소프트 수렴성과 코시 수열을 정의하고 조사하는 것.
• 완비 소프트 원추 거리공간 내에서 수축 사상에 대한 고정점 정리들을 설정하는 것.
• 소프트 집합 이론을 통한 불확실성과 매개변수화된 구조를 포함하는 환경으로 고전적 고정점 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 각 매개변수 λ ∈ A가 원추 거리공간의 집합으로 매핑되는 소프트 원소를 사용하여 소프트 원추 거리공간을 정의한다.
• 원추 거리공간 내에서 매개변수별 수렴성을 사용하여 소프트 원추 거리공간 내 소프트 수렴성과 코시 수열을 도입한다.
• 소프트 실수와 소프트 노름 공리계를 활용하여 공간 내 구조와 순서 관계를 정의한다.
• 소프트 상수 $ ilde{t}$와 $ ilde{r}$를 포함하는 수축 조건을 적용하며, 예를 들어 $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}(d(T\tilde{x}, \tilde{x}) + d(T\tilde{y}, \tilde{y}))$와 같이 표현된다.
• 반복 수열 $">\{T^n\tilde{x}\}$가 $ ilde{s} = \tilde{t}/(1 - \tilde{t})$를 포함하는 추정을 통해 고정 소프트 원소로 수렴함을 증명한다.
• 완비성과 원추의 닫힘성, 정규성 성질을 활용하여 $d(T\tilde{x}^*, \tilde{x}^*) = \Theta$임을 보여주며, 이는 $T\tilde{x}^* = \tilde{x}^*$임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원추 거리공간은 소프트 집합 이론과 소프트 원소를 사용하여 어떻게 불확실성을 통합하는 방식으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 소프트 원추 거리공간 상의 사상이 어떤 수축 조건을 만족할 경우 유일한 고정 소프트 원소를 갖는가?
• RQ3 소프트 원추 거리공간 내에서 수렴성과 코시 수열은 고전적 거리공간과 비교해 어떻게 행동하는가?
• RQ4 소프트 상수 $ ilde{t}$와 $ ilde{r}$는 고정점의 존재성과 유일성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 완비 소프트 원추 거리공간은 $ar{0} \leq \tilde{t} < \frac{1}{2}$일 때 수축 조건 $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}(d(T\tilde{x}, \tilde{x}) + d(T\tilde{y}, \tilde{y}))$ 하에서 유일한 고정 소프트 원소를 갖는다.
• 조건 $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}(d(T\tilde{x}, \tilde{y}) + d(T\tilde{y}, \tilde{x}))$ 하에서도 동일한 $ ilde{t}$ 제약 조건 하에서 유일한 고정 소프트 원소가 존재한다.
• 조건 $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}d(\tilde{x}, \tilde{y}) + \tilde{r}d(\tilde{y}, T\tilde{x})$ 하에서는 고정 소프트 원소가 존재하며, $\tilde{t} + \tilde{r} < \bar{1}$일 경우 그 유일성이 보장된다.
• 모든 세 수축 케이스에서 반복 수열 $">\{T^n\tilde{x}\}$는 $ ilde{s} = \tilde{t}/(1 - \tilde{t})$를 포함하는 기하급수적 추정을 통해 고정 소프트 원소로 수렴한다.
• 고정 소프트 원소는 $d(\tilde{x}^*, \tilde{y}^*) = \Theta$가 수축 부등식과 $ ilde{t}$ 또는 $ ilde{t} + \tilde{r}$의 엄격성에 의해 유도되므로 유일하다.
• 증명은 공간의 완비성과 원추 $P$의 닫힘성을 기반으로 하며, 이는 $d(T\tilde{x}^*, \tilde{x}^*) = \Theta$임을 모순에 의해 보장한다.