[논문 리뷰] Solution of the Gardner problem on the lock-in range of phase-locked loop

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 14.

Advancements in PLL and VCO Technologies참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차 위상일치루(PLL)에서 고유의 잠금 주파수와 잠금 범위를 정의하는 플로이드 가드너의 오랫동안 미해결된 문제를 엄밀한 수학적 해법으로 제시한다. 비선형 분석과 원통형 위상공간에서의 리아푸노프 함수를 사용하여 리드래그 및 활성 PI 필터를 갖는 PLL에 대해 정확한 잠금 범위 추정치를 유도함으로써, 코스타스 루프 및 광통신 시스템과 같은 응용 분야에서 정밀한 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The lock-in frequency and lock-in range concepts were introduced in 1966 by Floyd Gardner to describe the frequency differences of phase-locked loop based circuit for which the loop can acquire lock within one beat, i.e. without cycle slipping. These concepts became popular among engineering community and were given in various engineering publications. However rigorous mathematical explanations these concepts turned out to be a challenging task, thus, in the 2nd edition of Gardner's well-known work, Phaselock Techniques, he wrote that "despite its vague reality, lock-in range is a useful concept" and posed the problem "to define exactly any unique lock-in frequency". In this paper an effective solution for Gardner's problem on the unique definition of the lock-in frequency and lock-in range is discussed. The lock-in range and lock-in frequency computation is explained on the example of classical second-order PLL with lead-lag and active proportional-integral filters. The obtained results can also be used for the lock-in range computation of such PLL-based circuits as two-phase PLL, two-phase Costas loop, BPSK Costas loop, and optical Costas loop, used in intersatellite communication.

연구 동기 및 목표

• 1966년 가드너의 제안 이후 지속된 위상일치루에서의 잠금 주파수와 잠금 범위 정의의 모호함을 해결하기 위해.
• 공학 문헌에서 공식 정의가 부족한 상황을 감안해 고유의 잠금 주파수와 범위를 결정하는 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이중위상 PLL, 코스타스 루프, 광코스타스 루프를 포함한 실용적 PLL 기반 회로에 대한 잠금 범위 정확한 계산을 가능하게 하기 위해.
• 이전 방법의 한계를 극복하기 위해 원통형 위상공간에서의 분離자 및 위상평면 기법을 활용해 사이클 슬립과 일시적 거동을 분석하기 위해.
• 리드래그 및 활성 PI 필터 구성 모두에 분석을 확장하여 매개변수에 따라 변하는 다이어그램를 통해 확장 가능한 결과를 제공하기 위해.

제안 방법

• 정현파 위상 검출기를 갖는 고전적 2차 PLL을 원통형 위상공간에 정의된 비선형 동역학 시스템으로 수식화한다.
• 상태 궤적의 경계를 설정하고 분석 영역을 유한한 도메인으로 축소하기 위해 리아푸노프 함수 기법을 적용함으로써 안정성 및 흡인영역 분석을 가능하게 한다.
• 위상평면 분석과 수치 계산을 통해 사이클 슬립을 유도하는 초기 조건와 슬립 없이 잠금을 달성하는 조건을 분리하는 분리자(separatrix)를 식별한다.
• 시간 재스케일링을 통해 시스템을 두 가지 핵심 매개변수 $ K_{\rm vco}\tau_1 $ 및 $ \tau_2/\tau_1 $ 에 따라 정규화된 형태로 단순화한다.
• Fig. 9, 10, 11, 13에 제시된 잠금 주파수 다이어그램을 $ \tau_2/\tau_1 $ 와 $ K_{\rm vco}\tau_1 $ 의 함수로 구성하여 잠금 범위를 직접 검색할 수 있도록 한다.
• 정규화된 모델에서 실제 PLL로의 결과 스케일링을 위한 변환 규칙를 유도하여 $ K_p $, $ K_{\rm pd} $, $ K_{\rm vco} $ 와 같은 임의의 이득 매개변수를 갖는 실제 시스템에 적용할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 정의가 모호시 여겨졌던 상황에서, 위상일치루에서 잠금 주파수의 엄밀한 수학적 정의는 무엇인가?
• RQ2 초기 조건과 사이클 슬립 가능성까지 고려할 때, 잠금 범위를 엄밀하게 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 루프 필터 매개변수 $ \tau_1 $, $ \tau_2 $, $ K_{\rm vco} $ 는 잠금 범위 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 리드래그 및 활성 PI 필터를 갖는 2차 PLL에서, 잠금 범위와 끌림 범위는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 결과는 코스타스 루프 및 광통신 시스템과 같은 다른 PLL 기반 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 수치적 다이어그램(그림 13)을 통해 동일한 PLL 구성에서 잠금 범위가 끌림 범위보다 엄격히 작다는 것이 확인되었다.
• 리드래그 필터의 경우, 잠금 주파수는 $ \omega_{\text{lock-in}}(\tau_2/\tau_1, K_{\rm vco}\tau_1) $ 로 계산되며, 그 값은 그림 9와 그림 10의 ordinate 곱과 $ K_{\rm vco} $ 를 곱하여 구할 수 있다.
• 활성 PI 필터의 경우, 잠금 주파수는 $ 1/K_p $ 로 스케일링되며, 공식은 $ \omega_{\text{lock-in}}(\tau_2, K_pK_{\rm pd}K_{\rm vco}/\tau_1)/K_p $ 로 표현되어 일반 PLL에 적용 가능하다.
• 상태 변수 $ x $ 의 유계성을 보장하기 위해 리아푸노프 함수 $ V(x) = \frac{\tau_1}{2}x^2 $ 를 사용함으로써 분석 영역이 제한되고 위상평면 분석이 가능해진다.
• 그림 12의 위상포트르는 자유주행 주파수 $ \omega_{\rm{free}} $ 가 증가할수록 잠금 범위가 축소됨을 보여주며, 이는 분리자의 존재와 일치한다.
• 이 방법은 은폐된 진동과 잠금 행동의 비유일성을 해결하여 PLL의 공학적 설계를 위한 견고한 프레임워크를 제공한다.