[논문 리뷰] Solutions of the fractional Schrödinger equation via diagonalization - A plea for the harmonic oscillator basis part 1: the one dimensional case

Richard Herrmann|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 36인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 조화진동자 기저를 사용하여 분수 슈뢰딩거 방정식을 해결하기 위한 행렬역학적 접근을 제안한다. 이는 리에즈 분수 미분에 대한 비국소적 운동에너지 행렬 요소를 분석적으로 계산할 수 있게 하며, 주요 기여는 이러한 행렬 요소에 대한 폐쇄형 표현식과 일반화된 분수 대칭성의 발견이다. 이로 인해 특정 경우에 계산 복잡도가 16배 감소하고 운동에너지 및 위치에너지 행렬 간의 예상치 못한 단순화가 드러난다.

ABSTRACT

A covariant non-local extention if the stationary Schrödinger equation is presented and it's solution in terms of Heisenbergs's matrix quantum mechanics is proposed. For the special case of the Riesz fractional derivative, the calculation of corresponding matrix elements for the non-local kinetic energy term is performed fully analytically in the harmonic oscillator basis and leads to a new interpretation of non local operators in terms of generalized Glauber states. As a first application, for the fractional harmonic oscillator the potential energy matrix elements are calculated and the and the corresponding Schrödinger equation is diagonalized. For the special case of invariance of the non-local wave equation under Fourier-transforms a new symmetry is deduced, which may be interpreted as an extension of the standard parity-symmetry.

연구 동기 및 목표

• 일차원에서 분수 슈뢰딩거 방정식을 해결하기 위한 체계적인 행렬역학 프레임워크를 개발하기 위해.
• 특히 리에츠 정의에 기반한 분수 미분으로 인해 발생하는 비국소적 운동에너지 항을 다루는 데 도전하기 위해.
• 약한 특이성과 장거리 핵을 정확하게 다룰 수 있도록 조화진동자 기저가 유용함을 보여주기 위해.
• 특히 일반화된 분수 대칭성인 분수 대칭 불변성과 같은 분수 양자 조화진동자 내 숨겨진 대칭성을 밝혀내기 위해.
• 분수 양자역학의 재사용 가능하고 고정밀한 계산 기반을 제공함으로써, 특히 섭동 이론 등 응용 가능성을 고려하기 위해.

제안 방법

• 헤이젠베르크의 행렬역학을 활용하여 분수 슈뢰딩거 방정식을 수식화하고, 해밀토니안을 비국소적 운동에너지 연산자와 국소적 위치에너지 연산자의 합으로 표현하기 위해.
• 조화진동자 기저 |n⟩에서 ⟨m|ˆp²α|n⟩ 행렬 요소를 해석적으로 계산하며, 헤르미트 다항식의 정규직교성과 알려진 성질을 활용하기 위해.
• 비국소적 연산자를 일반화된 글로버 상태 표현을 통해 코herent 상태의 초위반으로 해석하기 위해.
• 푸리에 불변 조건을 적용하여 새로운 4차 대칭성을 도출하고, 좌표 공간 내 90도 회전을 통해 표준 대칭성을 복소 위상으로 확장하기 위해.
• 시리즈 전개에서의 대칭성과 상쇄 패턴을 활용하여 운동에너지 행렬 요소에 대한 간결한 폐쇄형 표현식을 유도하기 위해.
• |m−n|/2의 기수성에 기반한 부호 규칙을 통해 운동에너지와 위치에너지 행렬 요소 간의 직접적인 연관성을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 슈뢰딩거 방정식은 조화진동자 기저를 사용한 행렬역학으로 효율적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 리에츠 분수 미분 하에서 분수 양자 조화진동자에 어떤 대칭성이 나타나는가?
• RQ3 임의의 분수 차수에 대해 비국소적 운동에너지 행렬 요소를 해석적으로 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 분수 경우에서 운동에너지와 위치에너지 행렬 요소 간의 관계는 무엇이며, 이를 통해 단순화가 이루어지는가?
• RQ5 푸리에 불변성에서 유도된 일반화된 대칭성은 양자역학에서 표준 대칭의 확장으로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 분수 슈뢰딩거 방정식의 행렬 표현은 비국소적 운동에너지와 위치에너지 간의 분리로 인해 고정밀도 해를 얻을 수 있게 하며, 다양한 위치에너지에 대해 사전에 계산된 행렬 요소를 재사용할 수 있게 한다.
• 리에츠 분수 미분의 경우, 운동에너지 행렬 요소에 대해 폐쇄형 해석적 표현식이 존재하여 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 새로운 일반화된 분수 대칭성이 밝혀졌으며, 이는 좌표 공간 내 90도 회전에 해당하며, 네 개의 위상 순서 {i, −1, −i, 1}를 유도하여 특정 양자수 패턴에서는 계산 노력이 16배 감소한다.
• 대칭 조건은 놀라운 단순화를 이끌어내며, ⟨m|T(α)|n⟩ = ±⟨m|V(α)|n⟩로 표현되며, 이는 |m−n|/2의 기수성에 따라 결정된다. 이는 운동에너지 행렬 요소를 위치에너지 행렬 요소로부터 직접 계산할 수 있게 한다.
• 이 방법은 오차 맵에서 '빛의 탑'을 드러내며, α = 2n 및 p = 2m인 짝수 정수 위치에서 정밀도가 크게 향상됨을 보여주며, 수치적 안정성이 뛰어나다는 것을 시사한다.
• 이 접근법은 분수 미분을 일반화된 글로버 상태의 초위반으로 물리적으로 해석할 수 있게 하며, 분수 미분학과 양자 광학 상태 간의 연결 고리를 제공한다.