[논문 리뷰] Solving bivariate systems: Efficient worst-case algorithm for computing Rational Univariate Representations and applications

Yacine Bouzidi, Sylvain Lazard외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 20.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 worst-case bit complexity $σ\text{O}(d^7 + d^6 \alpha)$를 갖는 이원다항식계의 유리함수일변수표현(Rational Univariate Representation, RUR)을 계산하는 효율적인 알고리즘을 제시한다. 이는 이전 방법보다 향상된 것으로, 계수의 비트크기 범위를 더욱 날카롭게 제한하고, RUR를 통해 모든 실근에서의 다항식의 부호를 빠르게 평가할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We address the problem of solving systems of two bivariate polynomials of total degree at most $d$ with integer coefficients of maximum bitsize $ au$. It is known that a linear separating form, that is a linear combination of the variables that takes different values at distinct solutions of the system, can be computed in $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations (where $O_B$ refers to bit complexities and $\sO$ to complexities where polylogarithmic factors are omitted) and we focus here on the computation of a Rational Univariate Representation (RUR) given a linear separating form. We present an algorithm for computing a RUR with worst-case bit complexity in $\sOB(d^7+d^6 au)$ and bound the bitsize of its coefficients by $\sO(d^2+d au)$. We show in addition that isolating boxes of the solutions of the system can be computed from the RUR with $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations. Finally, we show how a RUR can be used to evaluate the sign of a bivariate polynomial (of degree at most $d$ and bitsize at most $ au$) at one real solution of the system in $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations and at all the $\Theta(d^2)$ {real} solutions in only $O(d)$ times that for one solution.

연구 동기 및 목표

• 이원다항식계의 유리함수일변수표현(Rational Univariate Representation, RUR)을 worst-case 효율적인 알고리즘으로 계산하는 것.
• 기존 방법에 비해 RUR 계산의 비트복잡도를 낮추기 위해 알려진 선형분리형식을 활용하는 것.
• RUR 성분의 계수 비트크기를 $σ\text{O}(d^2 + d\alpha)$로 제한하여 실용적인 효율성을 확보하는 것.
• RUR를 이용하여 모든 실근에 대한 격리상자( isolating boxes)를 빠르게 계산하는 것.
• RUR를 통해 주어진 이원다항식이 시스템의 모든 실근에서의 부호를 효율적으로 평가하는 것.

제안 방법

• 문제를 일변수 근 격리와 유리함수 구성으로 줄이기 위해 사전에 계산된 선형분리형식을 활용하는 것.
• 결과식(resultants)과 유리함수 보간 기법을 적용하여 계수 성장률을 통제하는 RUR 성분을 구성하는 것.
• 비트복잡도 범위를 유지하기 위해 베르레크람프–차센하우스 인수분해 전략의 수정된 버전을 적용하는 것.
• RUR에 포함된 일변수다항식의 근 격리 알고리즘을 적용하여 실근에 대한 격리상자를 계산하는 것.
• RUR를 이용해 일변수다항식의 근에서의 평가를 통해 개별 및 모든 실근에서 주어진 다항식의 부호를 평가하는 것.
• RUR 구조를 재사용하여 단일 평가 비용의 $O(d)$ 배 이내로 부호 평가를 최적화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 복잡도 기준 이하로 이원계의 RUR 계산 비트복잡도를 낮출 수 있을까, 동시에 계수 크기 제어를 유지할 수 있을까?
• RQ2 RUR로부터 모든 실근에 대한 격리상자를 계산하기 위해 필요한 최소 비트복잡도는 얼마인가?
• RQ3 RUR를 이용해 이원계의 모든 실근에서 다항식의 부호를 얼마나 효율적으로 평가할 수 있는가?
• RQ4 RUR 구조를 활용하여 한 근에서의 평가 비용의 $O(d)$ 배 이내로 모든 실근에서의 부호 평가를 수행할 수 있는가?
• RQ5 이원다항식계의 RUR 계수에 대해 가능한 가장 날카로운 비트크기 범위는 무엇인가?

주요 결과

• RUR는 $σ\text{O}(d^7 + d^6 \alpha)$ 비트 연산으로 계산되며, 이는 이전의 $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ 기준보다 향상된 것이다.
• RUR의 계수 비트크기는 $σ\text{O}(d^2 + d\alpha)$로 제한되어 있어 압축된 표현을 보장한다.
• 모든 실근에 대한 격리상자는 RUR로부터 $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ 비트 연산으로 계산될 수 있다.
• 한 실근에서의 다항식 부호 평가는 $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ 비트 연산으로 수행된다.
• 동일한 다항식이 $Θ(d^2)$개의 실근에서의 부호 평가는 단일 근 평가 비용의 $O(d)$ 배 이내로 수행될 수 있다.
• RUR의 구조와 선형분리형식의 특성을 활용함으로써 복잡도 향상과 실용적 효율성의 이중적 성취를 이룬다.