[논문 리뷰] Solving boolean satisfiability problems with the quantum approximate optimization algorithm

Sami Boulebnane, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 k-SAT 문제, 즉 어려운 제약 만족 문제의 한 종류를 해결하기 위해 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)의 성능을 분석한다. 분석적 경계와 수치 시뮬레이션을 사용하여, 14층의 QAOA가 8-SAT에 대해 최고의 고전적 솔버인 WalkSATlm과 동일한 지수적 스케일링을 보이며, 더 많은 층을 사용할수록 그 슈퍼리어리티를 보여, 고정된 파arameter를 사용할 경우 이 영역에서 양자 우월성 잠재력이 있음을 시사한다.

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is one of the most prominent proposed applications for near-term quantum computing. Here we study the ability of QAOA to solve hard constraint satisfaction problems, as opposed to optimization problems. We focus on the fundamental boolean satisfiability problem, in the form of random $k$-SAT. We develop analytic bounds on the average success probability of QAOA over random boolean formulae at the satisfiability threshold, as the number of variables $n$ goes to infinity. The bounds hold for fixed parameters and when $k$ is a power of 2. We complement these theoretical results with numerical results on the performance of QAOA for small $n$, showing that these match the limiting theoretical bounds closely. We then use these results to compare QAOA with leading classical solvers. In the case of random 8-SAT, we find that for around 14 ansatz layers, QAOA matches the scaling performance of the highest-performance classical solver we tested, WalkSATlm. For larger numbers of layers, QAOA outperforms WalkSATlm, with an ultimate level of advantage that is still to be determined. Our methods provide a framework for analysing the performance of QAOA for hard constraint satisfaction problems and finding further speedups over classical algorithms.

연구 동기 및 목표

• 고정된 깊이와 고정된 변분 매개변수 조건에서, 어려운 제약 만족 문제, 특히 랜덤 k-SAT에 대한 QAOA 성능 평가.
• 무한대 크기 근처에서 랜덤 k-SAT 인스턴스에 대한 QAOA 평균 성공 확률을 추정하기 위한 분석적 방법 개발.
• 특히 WalkSATlm과 같은 선도적 고전적 솔버와의 비교를 통해 QAOA의 스케일링 행동을 벤치마킹하고, 잠재적 양자 우월성 평가.
• 소규모 시뮬레이션에서의 경험적 결과와 비교하여 분석적 방법을 검증하고, 경험적으로 결정된 변분 각도의 최적성 평가.

제안 방법

• 고정된 매개변수와 k가 2의 거듭제곱일 때, 만족 가능성 임계점에서 랜덤 k-SAT에 대한 QAOA 평균 성공 확률에 대한 분석적 경계 유도.
• 분석적 방법의 엄밀한 알고리즘적 구현 제안. 충분히 작은 변분 매개변수에 대해 정당화되며, 최대 p=10층까지 성공 확률을 효율적으로 평가할 수 있음.
• 작은 인스턴스(n=12)에 대한 성공 확률 평균화를 통한 단순 경험적 방법을 사용하여 최적의 변분 매개변수 추정. 이는 분석 예측과 밀도 있는 일치를 보임.
• 분석 공식에 대해 경사 하강법 적용하여 매개변수 재최적화 수행하고, 경험적으로 구한 각도가 진정한 최적값에 얼마나 가까운지 평가.
• QAOA 및 고전적 솔버의 런타임 데이터에 대해 지수적 피팅을 수행하여 스케일링 지수 비교. 상관계수 및 오차 추정치 활용.
• 고정 깊이 QAOA에서 성공 확률의 지수적 감소를 설명하기 위해 라이트콘 논리 적용. 이는 하드 인스턴스에서 양자 및 고전적 알고리즘의 행동과 일치함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분석적 방법은 무한대 크기 근처에서 랜덤 k-SAT에 대한 QAOA 평균 성공 확률을 정확하게 예측할 수 있는가?
• RQ2 8-SAT에서 고정된 매개변수를 사용할 경우 QAOA 성능은 WalkSATlm과 같은 고전적 솔버와 비교해 지수적 스케일링 측면에서 어떻게 되는가?
• RQ3 작은 인스턴스(n=12)에서 경험적으로 결정된 변분 매개변수는 분석적 방법이 예측한 최적 매개변수에 얼마나 가까운가?
• RQ4 점차 증가하는 앤사츠 깊이를 가진 QAOA가 런타임 스케일링 측면에서 최고의 고전적 솔버를 결국 능가하는가?
• RQ5 문제 크기 및 레이어 수에 따라 QAOA의 성공 확률 이론적 및 경험적 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 8-SAT에서 QAOA는 14개의 앤사츠 레이어를 사용할 경우, 런타임 스케일링 측면에서 최고의 고전적 솔버인 WalkSATlm과 동일한 지수적 스케일링 지수를 달성한다.
• 14개 이상의 레이어를 사용할 경우 QAOA는 WalkSATlm를 능가하며, 아직 완전히 정량화되지 않은 런타임 스케일링 측면에서 잠재적 양자 우월성을 보여준다.
• 성공 확률 추정을 위한 분석적 방법은 중간 정도의 레이어 수(p=10까지)에서도 수치 시뮬레이션과 강한 일치를 보이며, 성능 예측에 활용 가능함을 검증한다.
• 작은 인스턴스(n=12)에서 경험적으로 결정된 변분 매개변수는 분석적 방법이 예측한 최적 매개변수와 몇 퍼센트 내외로 일치하며, 경험적 학습이 매우 효과적임을 시사한다.
• 재최적화 과정에서 성공 확률 지수 및 변분 각도의 상대적 변동은 작다(몇 퍼센트 내외), 경험적으로 구한 매개변수가 최적에 매우 가까운 것으로 나타남.
• Glucose3, Glucose4, MiniSat22와 같은 고전적 솔버들은 유사한 스케일링 지수(약 0.50–0.53)를 보이며, WalkSATlm는 가장 우수한 성능을 보이며 지수 0.325를 기록함. QAOA는 더 높은 레이어 수에서 이 지수를 따라가고 초월함.