[논문 리뷰] Solving systems of linear equations on a quantum computer

Stefanie Barz, Ivan Kassal외 5명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 광학 양자 컴퓨터를 사용하여 선형 방정식의 해를 구하는 데 처음으로 실험적으로 실현된 하로우-하시디움-홀-(Harrow-Hassidim-Lloyd, HHL) 양자 알고리즘을 보여준다. 허르드드 제어를 통해 극성으로 코딩된 큐비트에 두 번의 연속된 제어-노트(CNOT) 게이트를 적용함으로써, 저자들은 2×2 행렬에 대해 양자 상태 해 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖를 성공적으로 준비하였으며, 상태 허상도는 최대 0.981 ± 0.009에 도달하였다. 이는 광학 양자 정보 처리 및 양자 알고리즘 검증 분야에서 중요한 전진이다.

ABSTRACT

Systems of linear equations are used to model a wide array of problems in all fields of science and engineering. Recently, it has been shown that quantum computers could solve linear systems exponentially faster than classical computers, making for one of the most promising applications of quantum computation. Here, we demonstrate this quantum algorithm by implementing various instances on a photonic quantum computing architecture. Our implementation involves the application of two consecutive entangling gates on the same pair of polarisation-encoded qubits. We realize two separate controlled-NOT gates where the successful operation of the first gate is heralded by a measurement of two ancillary photons. Our work thus demonstrates the implementation of a quantum algorithm with high practical significance as well as an important technological advance which brings us closer to a comprehensive control of photonic quantum information.

연구 동기 및 목표

• 광학 양자 프로세서에서 선형 시스템을 해결하기 위한 HHL 양자 알고리즘의 실험적 실현 가능성을 입증하는 것.
• 크기가 큰 선형 시스템에 대해 고전적 방법보다 지수적 속도 향상을 제공하는 확장 가능한 양자 알고리즘을 구현하는 것.
• 광학 큐비트와 얽힘 게이트를 사용하여 해 벡터 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖의 고정밀도 상태 준비를 달성하는 것.
• 다양한 행렬과 입력 상태에 대해 알고리즘 성능을 평가하고, 허상도 및 오차 원인을 분석함으로써 알고리즘의 성능을 검증하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 헤르미트 행렬 A의 고유값을 보조 레지스터에 인코딩하기 위해 위상 추정을 사용하며, 제어 회전을 통해 고유값의 역수를 구현한다.
• 두 번의 연속된 제어-노트(CNOT) 게이트가 동일한 편광으로 코딩된 큐비트 쌍에 적용되며, 첫 번째 게이트의 성공 여부는 두 개의 보조 광자 검출을 통해 허르드드 제어된다.
• 중간 큐비트를 제거하고 제어 회전을 분해함으로써 양자 회로를 최적화하여 자원 과부하를 줄이고 실험적 실현 가능성을 향상시켰다.
• 국소 유니터리 연산(반파절 및 분파절판을 통해 실현)을 사용하여 입력 상태 |b⟩를 준비하고, 매개변수 θ를 조절하여 행렬 A의 고유값을 조절한다.
• 보조 큐비트가 |1⟩ 상태로 측정된 조건에서 해 상태 |x⟩가 조건부로 준비되며, 이는 성공적인 실행을 알리는 신호이다.
• 출력 밀도 행렬을 재구성하고 이상적인 해 상태와의 허상도를 측정하기 위해 양자 상태 단층 촬영 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 시스템을 해결하기 위한 HHL 알고리즘이 선형 광학과 후행 선택(후행 선택)만을 사용하여 광학 양자 컴퓨터에서 실험적으로 실현 가능한가?
• RQ2 광학 큐비트와 두 번의 연속된 CNOT 게이트를 사용할 때, 2×2 시스템에 대해 해 상태 |x⟩ = A⁻¹|b⟩/‖A⁻¹|b⟩‖의 준비에서 얻을 수 있는 최대 허상도는 얼마인가?
• RQ3 다른 입력 상태 |b⟩와 행렬 고유값 스펙트럼은 광학적 실현에서 알고리즘의 허상도 및 오차율에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 고차원 광자 방출 효과는 알고리즘 성능을 얼마나 떨어뜨리며, 이는 상태 R|b⟩에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 허르드드 제어와 국소 유니터리 연산의 조합이 광학 시스템에서 HHL 알고리즘의 확장 가능한 실현을 가능하게 하는가?

주요 결과

• HHL 알고리즘은 동일한 큐비트 쌍에 두 번의 연속된 CNOT 게이트를 적용하고 첫 번째 게이트의 성공 여부를 보조 광자 검출로 허르드드 제어함으로써 광학 양자 프로세서에서 성공적으로 실현되었다.
• 입력 상태가 |b₁⟩ = |1⟩일 경우, 해 상태 |x⟩의 허상도가 최대 0.981 ± 0.009에 도달하여 고정밀도 상태 준비가 이루어졌다.
• 입력 상태가 |b₂⟩ = |+⟩일 경우, 허상도가 0.832 ± 0.031로 낮아, 상태 R|b⟩에 따라 영향을 받는 고차원 광자 방출 효과로 인한 것으로 추정된다.
• 행렬 A의 고유값 스펙트럼에 따라 알고리즘 성능이 달라졌으며, 다양한 고유값 집합 Λ₁, Λ₂, Λ₃에 대해 허상도는 0.773 ± 0.027에서 0.981 ± 0.009 사이로 변동하였다.
• 실험적 설정은 매개변수 θ를 조절함으로써 행렬 A의 조정 가능성을 제공하여, 제어된 고유값을 가진 다양한 행렬을 구현할 수 있었다.
• 결과는 광학 시스템이 양자 선형 대수 알고리즘을 위해 실현 가능하며, 전체 위상 추정을 포함한 더 큰 시스템으로의 확장에 기반을 마련하였다.