[논문 리뷰] Solving the time-independent Schr\"odinger equation for chains of coupled excitons and phonons using tensor trains

Patrick Gelß, Rupert Klein외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 30.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 57인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 한 개의 차원에서의 엑시톤-포논 시스템에 대해 온사이트 및 근접 이웃 상호작용을 포함하는 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식을 해결하기 위해 텐서트리( TT ) 형식 기반의 방법을 제안한다. 낮은 질량의 텐서 분해와 Wielandt 정규화를 통합한 보완된 교차선형 방법을 활용하여 차원의 고통을 효과적으로 완화시키며, 기초 상태뿐 아니라 고에너지 상태까지 정확하게 계산할 수 있도록 한다. 또한 다양한 결합 강도 범위에서 Davydov의 자가트랩핑 현상을 성공적으로 재현한다.

ABSTRACT

We demonstrate how to apply the tensor-train format to solve the time-independent Schr\"{o}dinger equation for quasi one-dimensional excitonic chain systems with and without periodic boundary conditions. The coupled excitons and phonons are modeled by Frenkel-Holstein type Hamiltonians with on-site and nearest-neighbor interactions only. We reduce the memory consumption as well as the computational costs significantly by employing efficient decompositions to construct low rank tensor-train representations, thus mitigating the curse of dimensionality. In order to compute also higher quantum states, we introduce an approach which directly incorporates the Wielandt deflation technique into the alternating linear scheme for the solution of eigenproblems. Besides systems with coupled excitons and phonons, we also investigate uncoupled problems for which (semi-)analytical results exist. There, we find that in case of homogeneous systems the tensor-train ranks of state vectors only marginally depend on the chain length which results in a linear growth of the storage consumption. However, the CPU time increases slightly faster with the chain length than the storage consumption because the alternating linear scheme adopted in our work requires more iterations to achieve convergence for longer chains and a given rank. Finally, we demonstrate that the tensor-train approach to the quantum treatment of coupled excitons and phonons makes it possible to directly tackle the phenomenon of mutual self-trapping. We are able to confirm the main results of the Davydov theory, i.e., the dependence of the wavepacket width and the corresponding stabilization energy on the exciton-phonon coupling strength, though only for a certain range of that parameter. In future work, our approach will allow calculations also beyond the restrictions of the Frenkel-Holstein type Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 일차원에 가까운 엑시톤-포논 시스템에서 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 발생하는 차원의 고통 문제를 해결하기 위해.
• 기본 상태를 초월한 고에너지 상태를 수치적으로 안정적이고 효율적으로 계산하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• Fröhlich-Holstein 형 힘의 법칙을 사용하여 엑시톤-포논 시스템에서 상호 자가트랩핑을 직접 시뮬레이션할 수 있도록 하기 위해.
• 균일한 시스템에서 반정적 해석 결과와 비교하여 방법의 타당성을 검증하고, 웨이브패킷 국소화와 같은 알려진 물리적 현상을 확인하기 위해.

제안 방법

• 낮은 질량의 텐서 네트워크로 상태 벡터와 해밀토니안 행렬을 표현하기 위해 텐서트리(TT) 형식을 사용하여 메모리 및 계산 비용을 감소시킨다.
• TT 코어의 정규화 및 질량 조정을 위해 잘라낸 특이값 분해(SVD)를 사용하여 낮은 질량의 구조를 유지한다.
• 고유값 문제에 대해 교차선형 방법(ALS)을 적응시키고, 다중 고에너지 상태를 순차적으로 계산하기 위해 Wielandt 정규화를 통합한다.
• 초핵 분해를 통해 해밀토니안을 압축된 TT 표현으로 구성하여 행렬-벡터 곱 연산을 효율적으로 수행한다.
• 반복적 해법 중 수치적 안정성을 확보하기 위해 정규화 및 코어 갱신을 위한 TT 전용 알고리즘을 적용한다.
• 주기적 경계 조건을 구현하기 위해 순환 시스템 확장을 사용하며, 질량 전환 구조를 가진 특수한 TT 코어를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서트리 형식은 메모리 및 계산 비용을 최소화하면서도 결합된 엑시톤-포논 체인의 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식을 효율적으로 표현하고 해결할 수 있는가?
• RQ2 균일한 시스템에서 상태 벡터의 텐서트리 질량은 체인 길이에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 이 방법은 엑시톤-포논 결합 강도에 따라 Davydov 이론이 예측한 자가트랩핑 행동을 어느 정도 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 고에너지 상태를 신뢰성 있게 계산할 수 있으며, 수렴 행동은 시스템 크기와 질량에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 균일한 시스템에서 상태 벡터의 TT 질량은 체인 길이에 따라 거의 증가하지 않으며, 이로 인해 저장소 소비가 선형 스케일링을 이룬다.
• 고정된 질량에서 더 긴 체인일수록 수렴을 위해 더 많은 ALS 반복이 필요하므로, CPU 시간 소비는 저장소 소비보다 약간 더 가파르게 증가한다.
• 이 방법은 엑시톤-포논 결합 강도에 따라 웨이브패킷 폭과 안정화 에너지의 변화를 Davydov의 예측과 일치시켜 성공적으로 재현하였다.
• 일정 범위의 결합 매개변수 내에서 자가트랩핑 상태의 존재를 확인하여 상호 자가트랩핑의 물리적 메커니즘을 검증하였다.
• 텐서트리 프레임워크를 통해 강한 상관관계를 가진 시스템에서 고에너지 상태를 직접 계산할 수 있었으며, 기존의 양자 몬테카를로 및 격자 기반 방법의 한계를 극복하였다.
• 이 방법은 강건하고 확장 가능하며, 향후 Fröhlich-Holstein 모델과 Davydov 이론의 매개변수 영역을 초월한 응용에 대한 잠재력이 있다.