[논문 리뷰] Some classes of generating functions for generalized Hermite- and Chebyshev-type polynomials: Analysis of Euler's formula

Neslıhan Kilar, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 56인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 오일러의 공식을 사용하여 일반화된 에르미트형 및 체비셰프형 다항식의 새로운 생성함수를 도입하며, 삼각함수, 지수 생성함수, 특수 다항식 간의 관계를 설정한다. 함수 방정식과 기하급수 항등식을 활용하여, 에르미트형, 체비셰프, 딕슨, 아포스톨형 다항식 간의 명시적 공식, 재귀 관계 및 새로운 항등식을 유도한다. 주요 결과로는 이러한 다항식이 복소 지수 표현과 삼각함수 분해를 통해 통합됨을 보여준다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct generating functions for new families of special polynomials including the Appel polynomials, the Hermite-Kamp\`e de F\`eriet polynomials, the Milne-Thomson type polynomials, parametric kinds of Apostol type numbers and polynomials. Using Euler's formula, relations among special functions, Hermite-type polynomials, the Chebyshev polynomials and the Dickson polynomials are given. Using generating functions and their functional equations, various formulas and identities are given. With help of computational formula for new families of special polynomials, some of their numerical values are given. Using hypegeometric series, trigonometric functions and the Euler's formula, some applications related to Hermite-type polynomials are presented. Finally, further remarks, observations and comments about generating functions for new families of special polynomials are given.

연구 동기 및 목표

• 오일러의 공식을 사용하여 일반화된 에르미트형 및 체비셰프형 다항식의 새로운 생성함수를 개발한다.
• 에르미트형 다항식, 체비셰프 다항식, 딕슨 다항식, 삼각함수 간의 기능적 관계를 설정한다.
• 앱엘, 밀린-톰슨, 아포스톨형 다항식을 포함한 새로운 특수 다항식 가족의 명시적 계산 공식과 재귀 관계를 도출한다.
• 생성함수 항등식과 복소 지수 표현을 통해 다양한 특수 다항식 가족을 통합한다.
• 기하급수 급수와 삼각함수 전개를 사용하여 수치적 값과 응용 사례를 제공한다.

제안 방법

• 복소 변수 w = x + iy를 사용하여 다변수 생성함수 G(t, w, u, r) = exp(wt + Σ u_j t^j)를 정의한다.
• 오일러의 공식 exp(iyt) = cos(yt) + i sin(yt)를 적용하여 생성함수를 실수부와 허수부로 분해한다.
• 실수부와 허수부를 분리하여 다항식 K(n; w, u, r)에 대한 명시적 공식을 유도하며, 각각 P1(n, x, y, u, r)와 P2(n, x, y, u, r)로 표현한다.
• y = √(1−x²)를 대입하여 새로운 에르미트형 다항식과 고전적 체비셰프 다항식 간의 관계를 설정한다.
• 멱급수 전개에서의 함수 방정식과 계수 비교를 통해 재귀 및 미분 항등식을 유도한다.
• 아포스톨-ベル누이, 아포스톨-오일러, 야플레 다항식의 알려진 생성함수를 기저 사례로 삼아 통합된 항등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러의 공식을 어떻게 활용하여 복소 매개변수를 가진 일반화된 에르미트형 다항식의 생성함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 복소 지수 생성함수를 통해 에르미트형, 체비셰프, 딕슨 다항식 간에 나타나는 기능적 및 대수적 항등식은 무엇인가?
• RQ3 새로운 생성함수는 어떻게 야플레, 밀린-톰슨, 아포스톨형 다항식 가족을 통합하는가?
• RQ4 새로운 에르미트형 다항식 가족이 만족하는 재귀 또는 미분 관계는 무엇인가?
• RQ5 이러한 새로운 다항식 가족의 명시적 계산 공식은 고전적 직교다항식을 기반으로 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 생성함수 G(t, w, u, r) = exp(wt + Σ u_j t^j)는 오일러의 공식을 통해 실수부와 허수부로 분해되며, 이를 통해 P1(n, x, y, u, r)와 P2(n, x, y, u, r)라는 두 가지 새로운 다항식 가족을 도출한다.
• 명시적 공식이 유도됨: P1(n, x, y, u, r) = Σ (n choose j) H_j(u,r) C_{n-j}(x,y) 와 P2(n, x, y, u, r) = Σ (n choose j) H_j(u,r) S_{n-j}(x,y), 이는 에르미트형 다항식과 삼각함수 다항식 간의 연결을 나타낸다.
• y = √(1−x²)를 대입함으로써 P1과 P2는 체비셰프 다항식과 관련된 항등식을 유도한다: T_n(x) = Re[N_n(x, √(1−x²))] 와 U_{n−1}(x) = Im[N_n(x, √(1−x²)])/√(1−x²).
• 새로운 항등식이 확립됨: D_n(2x,1) = 2 Re[N_n(x, √(1−x²))] 와 E_{n−1}(2x,1) = Im[N_n(x, √(1−x²)]) / √(1−x²), 이는 딕슨 다항식과 삼각함수 다항식 간의 연결을 나타낸다.
• 편미분 방정식이 도출됨: ∂²/∂x∂y C_n(x,y) = -n(n−1)S_{n−2}(x,y) 와 ∂²/∂x∂y S_n(x,y) = n(n−1)C_{n−2}(x,y), 이는 구조적 대칭성을 드러낸다.
• 재귀 관계가 증명됨: C_{n+1}(x,y) = x C_n(x,y) - y S_n(x,y) 와 S_{n+1}(x,y) = x S_n(x,y) + y C_n(x,y), 이는 y = √(1−x²)를 대입할 경우 기존의 체비셰프 항등식으로 축소된다.