[논문 리뷰] Some measure-preserving point transformations on the Wiener space and their ergodicity

Ali Süleyman Üstünel, Moshe Zakai|ArXiv.org|2000. 02. 24.

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한 줄 요약

이 논문은 카메론-마틴 공간에 값을 갖는 유한한 다重 이토-위erner 적분의 합으로 유도되는 위너 공간 위의 측도를 보존하는 변환을 조사한다. 이러한 변환이 위너 측도를 보존하는 것은 정확히 그 편향이 첫 번째 위너 혼합에 속하고, 이를 통해 회전으로 작용할 때에만 성립한다. 논문은 카메론-마틴 공간 위의 유니터리 연산자에 의한 두 번째 양자화로부터 유도된 이러한 회전의 에르고딕성과 혼합성에 대해 특성화를 제시하며, $ \gamma(t) $ 가 $[0,1]$ 에 값이 비내림차순인 유니터리 행렬값 함수인 변환 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 에 대해 에르고딕성의 필요충분조건을 제공한다.

ABSTRACT

Suppose that T is a map of the Wiener space into itself, of the following type: T=I+u where u takes its values in the Cameron-Martin space H. Assume also that u is a finite sum of H-valued multiple Ito-Wiener integrals. In this work we prove that if T preserves the Wiener measure, then necessarily u is in the first Wiener chaos and the transformation corresponding to it is a rotation in the sense of [9]. Afterwards the ergodicity and mixing of such transformations, which are second quantizations of the unitary operators on the Cameron-Martin space, are characterized. Finally, the ergocity of the transformation dY_t=gamma(t)dW_t, 0 \le t \le 1 where W is n-dimensional Wiener and gamma is non random is characterized

연구 동기 및 목표

• 위너 공간 위의 점 변환 $ T = I + u $ 가 위너 측도를 보존하는 조건을 특성화하는 것. 여기서 $ u $ 는 카메론-마틴 공간에 값을 갖는 유한한 $ H $-값을 갖는 다중 이토-위erner 적분의 합이다.
• 특히 카메론-마틴 공간 위의 유니터리 연산자의 두 번째 양자화로부터 유도된 변환의 경우, 이러한 변환이 언제 에르고딕성 또는 혼합성을 갖는지를 결정하는 것.
• 비랜덤 유니터리 행렬값 함수 $ \gamma(t) $ 가 $[0,1]$ 에 정의된 변환 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 의 에르고딕성에 대해 필요충분조건을 제공하는 것.
• 유한차원에서의 마루야마의 가우시안 과정에 대한 결과를 스펙트럼 이론과 함수해석학적 기법을 통해 무한차원 위너 공간으로 확장하는 것.

제안 방법

• 저자들은 다중 이토-위너 적분의 구조와 위너 혼합 분해에 따른 표현을 이용하여 변환 $ T = I + u $ 의 측도 보존 성질을 분석한다.
• 측도 보존이 성립하기 위해 $ u $ 가 첫 번째 위너 혼합에 속해야 하며, 이 경우 $ T $ 는 [9]의 의미에서 회전으로 작용함을 보인다.
• 카메론-마틴 공간 위의 유니터리 연산자의 스펙트럼 이론을 활용하여 이러한 회전의 에르고딕성과 혼합성을 특성화하며, 특히 스펙트럼 측도 $ \theta \to d(\Pi_\theta h, h)_H $ 를 중심으로 다룬다.
• 변환 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 의 경우, $ \gamma(t) $ 의 스펙트럼 분해를 통해 고유값 $ e^{i\psi_j(t)} $ 를 분석하고, $ \theta \in [0, 2\pi] $ 에서의 누적분포함수 $ \int_0^1 u(\theta - \psi_j(t))\, dt $ 의 연속성을 고려한다.
• 증명은 스펙트럼 측도가 $ \theta = 0 $ 에서 0이 되는 것으로 에르고딕성을 특성화하며, $ T $ 가 에르고딕임과 동치로 $ (R^n h, h)_H \to 0 $ 이 $ n \to \infty $ 일 때 성립함을 이용한다.
• 저자들은 마루야마의 유한차원 가우시안 과정에 대한 에르고딕성 특성화를 무한차원 설정으로 확장하기 위해, $ \delta R^n h $ 와 관련된 스펙트럼 측도의 연속성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카메론-마틴 공간에 값을 갖는 유한한 다중 이토-위너 적분의 합인 $ u $ 를 갖는 변환 $ T = I + u $ 가 위너 측도를 보존하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 카메론-마틴 공간 위의 유니터리 연산자의 두 번째 양자화로부터 유도된 위너 공간 위의 회전이 언제 에르고딕성 또는 혼합성을 갖는가?
• RQ3 비랜덤 유니터리 행렬값 함수 $ \gamma(t) $ 를 갖는 변환 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 의 에르고딕성에 대해 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ4 관련된 유니터리 연산자의 스펙트럼 성질을 통해 무한차원 가우시안 과정의 에르고딕성을 어떻게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 위너 공간 위의 변환 $ T = I + u $ 가 위너 측도를 보존하는 것은 정확히 $ u $ 가 첫 번째 위너 혼합에 속할 때이며, 이 경우 $ T $ 는 [9]의 의미에서 회전으로 작용한다.
• 카메론-마틴 공간 위의 유니터리 연산자 $ R $ 의 두 번째 양자화로부터 유도된 회전의 에르고딕성은 모든 $ h \in H $ 에 대해 스펙트럼 측도 $ \theta \to d(\Pi_\theta h, h)_H $ 가 연속일 때와 동치이다.
• 변환 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 는 모든 $ j = 1, \dots, n $ 에 대해 $ \theta \mapsto \int_0^1 u(\theta - \psi_j(t))\, dt $ 가 $ \theta \in [0, 2\pi] $ 에서 연속일 때에만 에르고딕이다.
• 만약 $ n $ 이 홀수이면, $ \gamma(t) $ 는 양의 측도를 갖는 집합에서 적어도 하나의 고유값이 $ 1 $ 또는 $ -1 $ 이어야 하며, 이는 누적분포함수의 불연속성과 따라서 비에르고딕성을 암시한다.
• 변환 $ T $ 가 혼합임과 동치로 $ a_n(f) = \mathbb{E}[(O^n f) \cdot f] \to 0 $ 이 $ n \to \infty $ 일 때 모든 $ f \in L^2_0(\mu) $ 에 대해 성립하며, 이는 관련된 유니터리 연산자에 비상수 고유함수가 존재하지 않을 때와 동치이다.
• 결과들은 스펙트럼 이론과 함수해석학적 도구를 활용하여 마루야마의 유한차원 가우시안 과정에 대한 에르고딕성 특성화를 무한차원 위너 공간 설정으로 확장한다.