[논문 리뷰] Some Observations on Khovanskii's Matrix Methods for extracting Roots of Polynomials

James McLaughlin, B. Sury|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 03.

Iterative Methods for Nonlinear Equations참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다항식의 근, 특히 세제곱근과 삼차방정식의 실근을 근사하기 위한 Khovanskii의 행렬 기반 방법에 대해 수렴 조건, 최적의 매개변수 선택, 그리고 닫힌 형태의 표현식을 제시한다. 행렬의 거듭제곱에서 행렬 원소의 비율이 특별히 구성된 $ m \times m $ 행렬의 거듭제곱에서 수렴함을 증명하며, 반복적인 행렬 곱셈 없이도 효율적인 계산이 가능하도록 명시적인 공식을 제공한다.

ABSTRACT

In this article we apply a formula for the $n$-th power of a $3 imes 3$ matrix (found previously by the authors) to investigate a procedure of Khovanskii's for finding the cube root of a positive integer. We show, for each positive integer $α$, how to construct certain families of integer sequences such that a certain rational expression, involving the ratio of successive terms in each family, tends to $α^{1/3}$. We also show how to choose the optimal value of a free parameter to get maximum speed of convergence. We apply a similar method, also due to Khovanskii, to a more general class of cubic equations, and, for each such cubic, obtain a sequence of rationals that converge to the real root of the cubic. We prove that Khovanskii's method for finding the $m$-th ($m \geq 4$) root of a positive integer works, provided a free parameter is chosen to satisfy a very simple condition. Finally, we briefly consider another procedure of Khovanskii's, which also involves $m imes m$ matrices, for approximating the root of an arbitrary polynomial of degree $m$.

연구 동기 및 목표

• Khovanskii의 행렬 방법을 사용하여 양의 정수의 세제곱근을 추출할 수 있는 엄밀한 수렴 조건을 확립한다.
• 수렴 속도를 최대화하기 위해 행렬 구성에서 자유 매개변수 $ a $ 의 최적의 값을 결정한다.
• 일반적인 삼차방정식과 고차 다항식에 대해 $ m \times m $ 행렬을 사용하여 방법을 확장한다.
• 반복적인 행렬 곱셈이 필요 없도록 행렬 거듭제곱에 대한 닫힌 형태의 표현식을 제공한다.
• 일반적인 다항식으로 이 방법을 일반화하고, 실근으로 수렴하는 조건을 규명한다.

제안 방법

• 특성 다항식과 고유값을 바탕으로 유도된 $ 3 \times 3 $ 행렬의 $ n $-번째 거듭제곱에 대한 닫힌 형태의 공식을 활용한다.
• 행렬 거듭제곱 공식을 적용하여 비율 $ A_{n,2,1}/A_{n,3,1} $ 이 $ \alpha^{1/3} $ 으로 수렴하는지 분석하며, $ a > -\alpha^{2/3}/(1 + \alpha^{1/3}) $ 일 때 수렴을 증명한다.
• 복소수 단위근과 오차 계수의 상한을 포함하여 오차 항 $ |A_{n,2,1}/A_{n,3,1} - \alpha^{1/3}| $ 의 명시적 표현을 유도한다.
• $ m \times m $ 행렬을 사용하여 일반적인 $ m $-번째 근과 형태 $ x^3 - p x - q = 0 $ 인 삼차방정식으로 방법을 확장하며, 고유값의 지배성과 행렬의 대각화를 활용한다.
• 행렬 $ A $ 의 고유값 구조를 분석하여 주요 고유값 $ \beta_1 $ 이 행렬 원소의 점근적 행동을 지배함을 보인다.
• 유사행렬 변환 $ M^{-1} A M = \text{diag}(\beta_1, \dots, \beta_m) $ 를 적용하여, 단위근과 고유값을 포함한 $ A_{n,i,j} $ 의 닫힌 형태 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Khovanskii의 $ 3 \times 3 $ 행렬의 거듭제곱에서 원소 비율이 양의 정수의 세제곱근으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 수렴 속도를 최대화하기 위해 자유 매개변수 $ a $ 의 최적 값은 무엇인가?
• RQ3 Khovanskii 방법에서 반복적인 행렬 곱셈을 피하기 위해 $ A^n $ 에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 Khovanskii의 방법이 $ m \geq 4 $ 인 정수의 근으로도 수렴하는가? 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 일반적인 $ m $ 차 다항식에 대해, 행렬 기반 비율이 실근으로 수렴하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 정수 $ \alpha > 1 $ 에 대해, $ a > -\frac{\alpha^{2/3}}{1 + \alpha^{1/3}} $ 일 때, 수열 $ \frac{A_{n,2,1}}{A_{n,3,1}} $ 은 $ \alpha^{1/3} $ 으로 수렴하며, 이 수렴은 $ a $ 의 값에 관계없이 보장된다.
• 수렴 속도를 최대화하기 위한 $ a $ 의 최적 선택은 $ \bar{a} = \frac{\alpha^{1/3} + \alpha}{1 + \alpha^{1/3}} $ 에 가장 가까운 두 정수 중 하나이며, 이는 오차 항을 최소화한다.
• 근사 오차는 $ \left| \frac{A_{n,2,1}}{A_{n,3,1}} - \alpha^{1/3} \right| \leq C \cdot 2^{-n} $ 를 만족하며, 절대 상수 $ C $ 가 존재하고 오차 계수에 대한 명시적 상한이 존재한다.
• 삼차방정식 $ x^3 - p x - q = 0 $ 에 대해, $ 27q^2 - 4p^3 > 0 $ 일 때 방법은 실근으로 수렴하며, 근은 루트를 포함한 닫힌 형태의 표현식으로 주어진다.
• $ m \times m $ 행렬 $ A $ 에 대해, $ a > 0 $ 이면 $ n \to \infty $ 일 때 비율 $ \frac{A_{n,i,j}}{A_{n,u,v}} $ 는 $ \alpha^{(j+u-i-v)/m} $ 으로 수렴한다. 이는 첫 번째 고유값의 지배성 때문이며.
• 구조화된 $ m \times m $ 행렬 구성을 통해 일반적인 다항식으로 방법을 확장할 수 있으나, 수렴은 항상 보장되지 않으며 스펙트럼 성질에 따라 달라진다.