[논문 리뷰] Some quantitative results in $C^0$ symplectic geometry

Lev Buhovsky, Emmanuel Opshtein|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $\mathcal{C}^0$ 심플렉틱 기하학에서 날카로운 이분법을 확립한다: while $\mathcal{C}^0$-소작은 방식으로 그 심플렉틱 구조를 유지하면서도, 심플렉틱 홈오미오피즘은 여부차수 4인 심플렉틱 부분다양체를 영리하게 변형시킬 수 있지만, 여부차수 2인 부분다양체에 대해서는 강성하며, 그로 인해 그로모프의 너비와 같은 심플렉틱 용량을 유지해야 한다. 핵심 도구는 심플렉틱 원판에 대한 정량적 $h$-논리(principle)로서, $\mathcal{C}^0$-소작은 해밀토니안 흐름이 궤적의 직경을 통제할 수 있도록 보장하여 심플렉틱 동형변형을 실현한다.

ABSTRACT

This paper studies the action of symplectic homeomorphisms on smooth submanifolds, with a main focus on the behaviour of symplectic homeomorphisms with respect to numerical invariants like capacities. Our main result is that a symplectic homeomorphism may preserve and squeeze codimension $4$ symplectic submanifolds ($C^0$-flexibility), while this is impossible for codimension $2$ symplectic submanifolds ($C^0$-rigidity). We also discuss $C^0$-invariants of coistropic and Lagrangian submanifolds, proving some rigidity results and formulating some conjectures. We finally formulate an Eliashberg-Gromov $C^0$-rigidity type question for submanifolds, which we solve in many cases. Our main technical tool is a quantitative $h$-principle result in symplectic geometry.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 홈오미오피즘의 $\mathcal{C}^0$ 위상에서 부드러운 부분다양체 위에서의 행동을 조사하기 위해.
• 심플렉틱 불변량, 예를 들어 용량이 $\mathcal{C}^0$-극한에서의 심플렉틱 미분형사에 의해 유지되는지 여부를 결정하기 위해.
• $\mathcal{C}^0$-강성과 $\mathcal{C}^0$-영리함 사이의 경계를, 특히 서로 다른 여부차수를 가진 부분다양체에 대해 명확히 하기 위해.
• 엘리아샤버그-그로모프 정리에 유사한 $\mathcal{C}^0$-강성 문제를 제안하고 해결하기 위해.
• 심플렉틱 동형변형을 실현하는 $\mathcal{C}^0$-소작은 해밀토니안 흐름의 크기를 통제하는 정량적 $h$-논리를 수립하기 위해.

제안 방법

• 심플렉틱 원판에 대한 정량적 $h$-논리를 개발하여, 두 심플렉틱 원판이 동치의 히포테시스 하에서 궤적 직경이 작을 경우, 그 동형변형을 $\mathcal{C}^0$-소작은 해밀토니안 흐름이 실현할 수 있음을 보장한다.
• 정량적 $h$-논리를 활용하여, 예를 들어 다각형 원판과 같은 여부차수 4인 심플렉틱 부분다양체에서 스케일링 항등사상으로 작용하는 심플렉틱 홈오미오피즘을 구성한다.
• 표준 이웃 정리들을 적용하여 국소적 영리함 결과를 전역적 심플렉틱 다양체로 확장한다.
• 여부차수 2인 심플렉틱 부분다양체에 대한 강성을 증명하기 위해, 심플렉틱 홈오미오피즘이 비압축성 성질(non-squeezing property)을 유지함을 보이며, 개방 부분집합 $U \subset N$에 대해 $c^Z(h(U)) \geq c_B(U)$임을 보인다.
• 국소 모델과 심플렉틱 선형대수학을 사용하여 문제를 홈오미오피즘의 미분이 접선공간에서 작용하는 방식으로 환원하며, 이 미분이 반드시 심플렉틱이거나 반심플렉틱이어야 함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 홈오미오피즘이 부드러운 심플렉틱 부분다양체를 유지하면서도, 심플렉틱 미분형사가 할 수 없는 방식으로 변형시킬 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 홈오미오피즘의 부드러운 부분다양체 위로의 제한은 반드시 심플렉틱인가, 즉 이미지가 부드럽고 심플렉틱하더라도 말이다?
• RQ3 $\mathcal{C}^0$-극한에서의 심플렉틱 미분형사에 대해 심플렉틱 용량—그로모프의 너비 또는 실린더 용량 등—이 유지되는가?
• RQ4 $\mathcal{C}^0$-심플렉틱 영리함이 강성으로 전환하는 정확한 여부차수 임계점은 무엇인가?
• RQ5 만약 동형변형이 궤적 직경이 일관되게 유계이면, $\mathcal{C}^0$-소작은 해밀토니안 흐름이 두 심플렉틱 원판 사이의 심플렉틱 동형변형을 실현할 수 있는가?

주요 결과

• 심플렉틱 홈오미오피즘은 여부차수 4인 심플렉틱 부분다양체(예: 다각형 원판)에 대해 $\frac{1}{2}$-스케일링으로 작용할 수 있으며, 이는 $\mathcal{C}^0$-소작은 상태를 유지하면서도 $\mathcal{C}^0$-영리함을 보여준다.
• 여부차수 2인 심플렉틱 부분다양체에 대해서는, 심플렉틱 홈오미오피즘의 제한이 비압축성 성질을 유지해야 하며, 크기가 $a$인 심플렉틱 공이 크기가 $A$인 실린더로 매핑되면 $A \geq a$임을 의미하며, 이는 $c^Z(h(U)) \geq c_B(U)$임을 뜻한다.
• 정량적 $h$-논리는, 궤적 직경이 일관되게 유계인 두 원판 사이의 모든 심플렉틱 동형변형이, 궤적 직경이 동형변형 직경의 두 배 이내인 $\mathcal{C}^0$-소작은 해밀토니안 흐름에 의해 실현될 수 있음을 보장한다.
• 심플렉틱 홈오미오피즘의 코이시트로픽 또는 라그랑주 부분다양체 위로의 제한의 미분은 반드시 심플렉틱이거나 반심플렉틱이어야 하며, 선형 수준에서 심플렉틱 구조를 유지한다.
• 엘리아샤버그-그로모프 정리에 유사한 $\mathcal{C}^0$-강성 문제에 대한 양의 답변은 정량적 $h$-논리로부터 유도되며, 이는 $\mathcal{C}^0$-극한에서의 심플렉틱 미분형사가 부분다양체 위에서 스스로 심플렉틱임을 보여준다.
• 이 논문은 여부차수 4인 심플렉틱 부분다양체에 대해 $\mathcal{C}^0$-강성이 실패함을 증명하고, 여부차수 2인 경우에만 성립함을 보여, 날카로운 차원 임계점을 확립한다.