[논문 리뷰] Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation

Claude Lévesque, Michel Waldschmidt|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대수적 곡선 위의 정수점, 수체 위의 일반화된 유니트 방정식의 해, 디오판틴 스 추측에서의 유한성 결과 사이에 깊은 등가성을 수립한다. degree 3에 대한 Thue–Mahler 정리가 모든 degree ≥3에 대해 전체 결과를 함의함을 증명하며, S-유니트 방정식과 사영 기하학을 통해 이들 결과를 Siegel의 정리와 Schmidt의 부분공간 정리와 연결한다.

ABSTRACT

We first recall the connection, going back to A. Thue, between rational approximation to algebraic numbers and integer solutions of some Diophantine equations. Next we recall the equivalence between several finiteness results on various Diophantine equations. We also give many equivalent statements of Mahler's generalization of the fundamental theorem of Thue. In particular, we show that the theorem of Thue--Mahler for degree $3$ implies the theorem of Thue--Mahler for arbitrary degree $\ge3$, and we relate it with a theorem of Siegel on the rational integral points of the projective line $¶^1(K)$ minus $3$ points. Finally we extend our study to higher dimensional spaces in connection with Schmidt's Subspace Theorem.

연구 동기 및 목표

• 디오판틴 스 추측에서의 유한성 결과, 곡선 위의 정수점, 유니트 방정식의 해 사이의 등가성을 통합하고 명확히 하기.
• degree 3에 대한 Thue–Mahler 결과가 모든 degree ≥3에 대해 일반적인 경우를 함의함을 보여주기.
• 이러한 유한성 문장들을 P¹에서 세 점을 뺀 경우에 대한 Siegel의 정리와 연결하기.
• Schmidt의 부분공간 정리를 이용해 고차원 공간으로 이 프레임워크를 확장하기.
• S-유니트 방정식과 사영 공간 내 정수점에 관여하는 문장들 간의 체계적인 등가성 제공하기.

제안 방법

• Thue의 원래 정리를 통해 대수적 수의 유리수 근사와 동차 디오판틴 방정식의 정수해 유한성 사이의 등가성을 수립.
• 이중형 다항식 F(x,y)와 유리수 근사 p/q 사이의 변환을 사용하여 디오판틴 스 추측과 정수점 유한성의 연결 고리 형성.
• 사영 공간에서 초평면을 뺀 특수한 경우에 대해 부분공간 정리와 Vojta의 추측을 적용하여 S-유니트 방정식을 일반화.
• 일반화된 S-유니트 방정식에서 부분합의 영이 되지 않도록 하기 위해 S-유니트 집합 S를 S'로 확장하는 방법 도입.
• 사영 좌표와 동차 다항식을 사용하여 문제를 Pⁿ에서 더 낮은 차원의 공간으로 축소하면서 정수성 조건 유지.
• 귀납법과 축소 기법을 활용하여 고차원 n에 대해 유한성이 성립하면 낮은 차원 n에 대해서도 유한성이 성립함을 보여주며, 특히 n=2의 경우에 초점

실험 결과

연구 질문

• RQ1 degree 3에 대한 Thue–Mahler 정리가 모든 degree d ≥ 3에 대해 전체 결과를 함의하는가?
• RQ2 Thue 곡선, Mordell 곡선, 초타원곡선 위의 정수점의 유한성은 디오판틴 스 추측과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 P¹에서 세 점을 뺀 경우에 대한 Siegel의 정리와 일반화된 S-유니트 방정식 사이의 정확한 연결 고리는 무엇인가?
• RQ4 n+1개 변수를 가진 S-유니트 방정식의 해의 유한성은 낮은 차원의 경우로 축소될 수 있는가?
• RQ5 Schmidt의 부분공간 정리는 초평면 배열을 포함하는 고차원 사영 공간으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• degree 3에 대한 Thue–Mahler 정리가 모든 degree d ≥ 3에 대해 전체 결과를 함의함.
• Thue 곡선 위의 정수점의 유한성은 리우빌의 경계를 초월하는 대수적 수에 대한 유리수 근사의 유한성과 등가임.
• n+1개 변수를 가진 일반화된 S-유니트 방정식은 해당 사영 공간에서 초평면을 뺀 경우에 S-정수점이 유한할 때에만 유한한 해를 가짐.
• n ≥ 3일 때 유한성이 보장되면, 1−ε ∈ O_S^× 를 만족하는 S-유니트 ε의 집합은 유한하며, 이는 n=2의 경우에도 결과를 함의함.
• n에 대해 S-유니트 방정식의 해의 유한성이 참이면, 낮은 차원의 사영 공간으로의 축소를 통해 n−t에 대해서도 결과가 성립함.
• 일반화된 S-유니트 방정식에서 진부분합의 영이 되지 않음을 보장하기 위해, 나누어 떨어짐 문제를 피하기 위해 장소 집합 S를 S′로 확장함.