[논문 리뷰] Some results from algebraic geometry over complete discretely valued fields

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 등차수 0인 완비 이산적으로 값이 주어진 체 위에서 대수기하학의 기초 결과를 파스의 양자절상과 악스-코헨-어셔프 전이 원리의 활용을 통해 수립한다. 주요 기여는 정의 가능한 닫힘성, 투영과 블로우업의 정의 가능한 닫힘성, 반대칭 집합에 대한 곡선 선택, 연속적인 유비쿼터리 유리 함수의 확장 정리이며, 전이 원리를 통해 헨젤 체로의 일반화가 이루어진다.

ABSTRACT

This paper is concerned with algebraic geometry over complete discretely valued fields $K$ of equicharacteristic zero. Several results are given including: the canonical projection $K^{n} imes K\mathbb{P}^{m} \longrightarrow K^{n}$ and blow-ups of the $K$-points of smooth $K$-varieties are definably closed maps, a descent principle, a version of the Lojasiewicz inequality for continuous rational functions, curve selection for semialgebraic sets and the theorem on extending continuous hereditarily rational functions, established for the real field in our joint paper with J. Kollar. Our approach applies the quantifier elimination due to Pas. By the transfer principle of Ax-Kochen-Ershov, all these results carry over to the case of Henselian discretely valued fields. Using different arguments in our subsequent paper, we establish them over Henselian real valued fields of equicharacteristic zero.

연구 동기 및 목표

• 완비 이산적으로 값이 주어진 체의 등차수 0에서 대수기하학의 기초 도구를 개발하기 위해.
• 부드러운 K-다양체 위의 K-점에 대한 표준 투영과 블로우업의 정의 가능한 닫힘성을 확립하기 위해.
• 이러한 체 위에서 연속적인 유리 함수에 대해 로자이에프스키 부등식의 한 형태를 증명하기 위해.
• 실수 체에서 연속적인 유비쿼터리 유리 함수에 대한 결과를 더 일반적인 값이 주어진 체로 확장하기 위해.
• 악스-코헨-어셔프 전이 원리를 사용하여 이러한 결과를 헨젤 이산적으로 값이 주어진 체로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 맥인터라의 언어에 대한 파스의 양자절상 원리를 활용하여 정의 가능한 집합의 모델 이론적 분석을 가능하게 하였다.
• 악스-코헨-어셔프 전이 원리를 적용하여 잔여체와 값군의 결과를 완비 이산적으로 값이 주어진 체로 확장하였다.
• 정의 가능한 위상수학을 사용하여 투영과 블로우업의 상의 정의 가능한 닫힘성을 분석하고, 이들이 정의 가능한 닫힘 사상임을 증명하였다.
• 정의 가능한 매개변수화와 모델 이론적 컴acts를 사용하여 반대칭 집합에 대한 곡선 선택 정리를 구성하였다.
• 정의 가능한 집합에서의 행동을 분석하고 로자이에프스키 부등식을 활용하여 연속적인 유비쿼터리 유리 함수에 대한 확장 정리를 수립하였다.
• 후속 논문에서 독립적인 증거를 통해 헨젤 실수값이 주어진 등차수 0의 체로 결과를 확장하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 이산적으로 값이 주어진 체 $K$의 등차수 0일 때, $K^n \times K\bb{P}^m$ 에서 $K^n$ 으로의 표준 투영은 정의 가능한 닫힘성을 갖는가?
• RQ2 부드러운 $K$-다양체 위의 $K$-점에 대한 블로우업은 이 설정에서 정의 가능한 닫힘 사상인가?
• RQ3 이러한 체 위에서 연속적인 유리 함수에 대해 로자이에프스키 유형 부등식을 구성하고 증명할 수 있는가?
• RQ4 완비 이산적으로 값이 주어진 체의 등차수 0에서 반대칭 집합에 대해 곡선 선택이 성립하는가?
• RQ5 반대칭 부분집합에서 정의된 연속적인 유비쿼터리 유리 함수는 더 큰 정의역으로 연속적으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 완비 이산적으로 값이 주어진 체 $K$의 등차수 0일 때, 표준 투영 $K^n \times K\bb{P}^m \to K^n$ 은 정의 가능한 닫힘성을 갖는다.
• 부드러운 $K$-다양체 위의 $K$-점에 대한 블로우업은 동일한 설정에서 정의 가능한 닫힘 사상이다.
• 완비 이산적으로 값이 주어진 체의 등차수 0에서 연속적인 유리 함수에 대해 로자이에프스키 부등식의 한 형태가 성립한다.
• 완비 이산적으로 값이 주어진 체의 등차수 0에서 $K^n$ 의 반대칭 집합에 대해 곡선 선택이 성립한다.
• 이러한 체 위의 반대칭 집합에서 정의된 연속적인 유비쿼터리 유리 함수는 더 큰 반대칭 정의역으로 연속적으로 확장될 수 있다.
• 모든 결과는 악스-코헨-어셔프 전이 원리를 통해 헨젤 이산적으로 값이 주어진 체로 이행되며, 추가로 헨젤 실수값이 주어진 등차수 0의 체에 대해 독립적으로 확립된다.