[논문 리뷰] Some results on zeros distributions and uniqueness of derivatives of difference polynomials

Kai Liu, Xinling Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 05.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정수 함수와 유리형 함수에 대한 차분 다항식의 도함수의 영점 분포와 유일성에 관한 새로운 결과를 확립한다. 하이먼 유형의 추측을 이산적 환경으로 확장함으로써, 특정 순서 및 차수 조건 하에서 $[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$와 같은 차분 다항식의 도함수가 무한히 많은 영점을 가짐을 증명하고, 값 공유 조건 하에서 이러한 다항식을 공유하는 정수 함수는 상수배 관계에 있어야 함을 보였다. 이러한 결과는 이전의 차분 다항식 및 값 분포 이론에 관한 연구를 향상시킨다.

ABSTRACT

We consider the zeros distributions on the derivatives of difference polynomials of meromorphic functions, and present some results which can be seen as the discrete analogues of Hayman conjecture \cite{hayman1}, also partly answer the question given in \cite[P448]{luolin}. We also investigate the uniqueness problems of difference-differential polynomials of entire functions sharing one common value. These theorems improve the results of Luo and Lin\cite{luolin} and some results of present authors \cite{liuliucao}.

연구 동기 및 목표

• 초월 정수 함수의 초순서가 1보다 작을 경우, 차분 다항식의 도함수의 영점 분포를 조사한다.
• 이동 및 차분을 포함하는 이산적 환경으로 하이먼 추측과 관련 결과를 확장한다.
• 공통된 값을 공유하는 차분-미분 다항식에 대한 유일성 문제를 해결하고, 이전의 값 공유 정리에 대한 결과를 향상시킨다.
• 이러한 다항식이 무한히 많은 영점을 가지거나 함수 간의 함수적 관계를 유도하는 데 필요한 차수 및 순서에 대한 날카운 조건을 규명한다.
• 유리형 함수에 대한 유일성 정리의 타당성 및 더 일반적인 차분 구조에 대한 열린 질문을 다룬다.

제안 방법

• 유리형 함수 및 정수 함수의 성장과 값 분포를 분석하기 위해 네바린나 이론과 소함수 기법을 활용한다.
• 영점과 극의 수를 추정하기 위해 네바린나 이론의 제2주요 정리와 접근 함수를 적용한다.
• 성장 제어 및 가정 하의 모순 유도를 위해 특성 함수 $ T(r,f) $ 와 소함수 오차 항 $ S(r,f) $ 를 사용한다.
• 조건이 위반될 경우, 예를 들어 $ f(z) = e^{e^z} $ 와 같이 반례를 구성하기 위해 와이먼-발리론 이론과 점근적 분석을 적용한다.
• 로그 미분 보조정리와 공유된 값 개념(CM 및 IM)을 활용하여 차분 다항식의 도함수의 유일성을 분석한다.
• 와이스키안 유사 표현 $ H $ 의 카소라티-바이어스트라스 유사 행동을 분석함으로써 함수 간의 함수적 관계를 유도하여 $ F = G $ 또는 $ F \times G = 1 $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초월 정수 함수 $ f $ 에 대해 $ \rho_2(f) < 1 $ 를 만족할 때, 차분 다항식 $[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ 의 도함수가 무한히 많은 영점을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정리 1.1에서의 조건 $ n \geq t(k+1)+1 $ 은 유리형 함수로 약화 또는 일반화할 수 있으며, 이것이 날카로운가?
• RQ3 차분-미분 다항식이 값을 공유할 때, $ f $ 와 $ g $ 의 유일성이 보장되기 위한 $ n $ 에 대한 최소 차수 조건은 무엇인가?
• RQ4 영점 분포 결과에 있어 조건 $ \rho_2(f) < 1 $ 는 필수적인가? $ \rho_2(f) = 1 $ 일 경우는 어떠한가?
• RQ5 $ f = tg $ 와 $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $ 인 유일성 결과는 $ \Delta_c f $ 를 포함하는 경우로 확장될 수 있으며, 그 데 있어 장애 요소는 무엇인가?

주요 결과

• 초월 정수 함수 $ f $ 에 대해 $ \rho_2(f) < 1 $ 이고 $ n \geq t(k+1)+1 $ 이면, $[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ 는 무한히 많은 영점을 가진다. 여기서 $ t $ 는 $ P(z) $ 의 서로 다른 영점의 수이다.
• 조건 $ n \geq t(k+1)+1 $ 는 날카로운데, $ n < t(k+1)+1 $ 일 경우 반례가 존재한다. 예를 들어 $ f(z) = e^z + 1 $, $ e^c = -1 $ 이면 $ n = t = 1 $ 일 때 영점이 존재하지 않는다.
• 다항식 $[f^n (\Delta_c f)^s]^{(k)} - a(z)$ 에 대해, $ n \geq (t+1)(k+1)+1 $ 이고 $ f $ 가 $ c $-주기적이지 않다면 도함수는 무한히 많은 영점을 가진다.
• 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 값 1을 공유(CM)하고, 그들의 차분-미분 다항식 $[f^n(f^m-1)f(z+c)]^{(k)}$ 와 $[g^n(g^m-1)g(z+c)]^{(k)}$ 도 값 1을 공유(CM)한다면, $ n \geq 2k + m + 6 $ 이면 $ f = tg $ 이고 $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $ 이다.
• 더 일반적인 경우 $ \Delta_c f $ 를 포함할 때, $ n \geq 5k + 4m + 12 $ 이면, 도함수들이 값 1을 공유(CM)하면 항상 $ f = tg $ 이고 $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $ 이다.
• 결과는 날카롭다: 조건이 위반될 경우 반례가 존재한다. 예를 들어 $ f(z) = e^{e^z} $ 는 $ \rho_2(f) = 1 $ 이고 도함수 다항식이 0이 아닌 상수로 되어 있어 유한한 영점을 가지므로 반례가 된다.