[논문 리뷰] Some Results Related to Soft Topological Spaces

E. Peyghan, Babak Samadi외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 21.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소프트 위상공간에서 소프트 컴팩트성과 가чёт소프트 컴팩트성을 도입하고 분석함으로써 고전적 일반위상수학 결과에 도전한다. 고전적 위상수학과는 달리, 컴팩트 하우스도르프 소프트 공간이 정규일 필요가 없음을, 구성된 반례를 통해 기존의 소프트 정규성 및 정규성에 관한 정리들을 반박함으로써 보여준다.

ABSTRACT

The notion of soft sets is introduced as a general mathematical tool for dealing with uncertainty. In this paper, we consider the concepts of soft compactness, countably soft compactness and obtain some results. We study some soft separation axioms that have been studied by Min and Shabir-Naz. By constructing a special soft topological space, show that some classical results in general topology are not true about soft topological spaces, for instance every compact Housdorff spaces need not be normal.

연구 동기 및 목표

• 소프트 위상공간에서 소프트 컴팩트성과 가чёт소프트 컴팩트성의 개념을 조사하기.
• 민과 샤비르-나즈가 정의한 소프트 분리공리, 특히 소프트 정규성과 소프트 정규성 등을 검토하기.
• 이전에 발표된 소프트 분리공리에 관한 정리들에서의 오류를 식별하고 수정하기.
• 고전적 일반위상수학 결과—예를 들어 모든 컴팩트 하우스도르프 공간이 정규라는 것—이 소프트 위상공간에서는 성립하지 않음을 보여주기.
• 소프트 $T_4$-공간이 반드시 소프트 $T_3$-공간이 아니라는 반례를 구성함으로써, 소프트 정규성 정리가 실패할 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 우주 $X$ 위에 매개변수 집합 $E$를 가진 소프트 집합을 도입하고, 상대적 여집합을 통해 소프트 열린 집합과 소프트 닫힌 집합을 정의한다.
• 소프트 위상공간 $\tau$를 정의하여, 표준적인 위상공간 공리(axiom)를 만족하는 소프트 집합의 집합으로 간주한다: $\Phi_E$와 $\widetilde{X}$를 포함하고, 임의의 합집합과 유한한 교집합에 대해 닫혀 있다.
• 소프트 열린 덮개를 통한 소프트 컴팩트성 정의: 소프트 공간이 소프트 컴팩트임은 모든 소프트 열린 덮개가 유한한 부분덮개를 가진다는 것임.
• 소프트 닫힘과 소프트 내부의 개념을 적용하여, 서로소인 소프트 열린 집합을 포함하는 조건을 사용해 소프트 정규성 및 소프트 정규성 공간을 정의한다.
• 특정 반례 공간을 사용하여 분리성질을 테스트함: $X = \{h\}$, $E = \{e_1, \dots, e_5\}$, 그리고 유한한 소프트 위상공간 $\tau$를 사용한다.
• 조건 $ (x,E) \cap (G,E) = \phi_E $가 소프트 정규성을 위해 충분하지 않음을 확인함으로써 핵심 정리의 실패를 분석함. 이는 $ (x,E) \not\subseteq (G,E) $여야 함을 요구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 컴팩트 하우스도르프 소프트 위상공간은 여전히 정규인가?
• RQ2 이전 문헌(예: [10])에서 제시된 소프트 정규성 및 소프트 정규성 정리들이 일반적인 소프트 위상공간에서 유효한가?
• RQ3 소프트 $T_4$-공간이 소프트 $T_3$-공간이 아닐 수 있는가?
• RQ4 소프트 위상수학에서 조건 $ (x,E) \cap (G,E) = \phi_E $는 $ x \notin (G,E) $와 동치인가?
• RQ5 고전적 결과—예를 들어 '컴팩트 하우스도르프 공간은 정규이다'—는 소프트 위상공간에서도 성립하는가?

주요 결과

• 예제 4.9에서 구성된 소프트 위상공간은 소프트 컴팩트이지만 소프트 정규가 아니므로, 컴팩트 하우스도르프 소프트 공간이 반드시 정규일 필요가 없음을 보여준다.
• 예제 4.4의 소프트 공간은 소프트 $T_4$-공간이지만 소프트 $T_3$-공간이 아니므로, [10]에서 주장한 바와는 반대로 이론을 반박한다.
• [10]의 정리 3.17은 잘못되었으며, 조건 $ (x,E) \cap (G,E) = \phi_E $는 $ x \notin (G,E) $를 함의하지 않으며, 따라서 소프트 정규성을 정의하는 데 사용될 수 없다.
• 조건 $ (x,E) \cap (G,E) = \phi_E $는 $ (x,E) \not\subseteq (G,E) $와 동치가 아니며, 이는 이전 정리들에서 소프트 정규성에 관한 핵심 가정을 무효화한다.
• [10]의 정리 3.25는 잘못되었음: 모든 단일소프트 집합이 닫혀 있는 소프트 정규 공간이 반드시 소프트 $T_3$-공간일 필요는 없다.
• 이 논문은 이전 작업을 수정하여, 소프트 정규성의 필수 조건으로 $ (x,E) \cap (G,E) = \phi_E $ 대신 $ (x,E) \not\subseteq (G,E) $를 사용한다.