[논문 리뷰] Some very non-K\"ahler manifolds: the Fr\"olicher spectral sequence can be arbitrarily non degenerate

Sönke Rollenske|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 04.

Geometry and complex manifolds인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 각 n ≥ 2에 대해, 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 n번째 미분 dn이 0이 아닌 복소수 야무니폴드 Xn을 구성한다. 노르만포드의 대수적 구조와 스펙트럴 시퀀스의 명시적 계산을 활용하여, 저자들은 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스가 임의로 비퇴화될 수 있음을 보이며, 복소기하학에서 고차 비퇴화에 관한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Abstract. The Frölicher spectral sequence of a compact complex manifold X measures the difference between Dolbeault cohomology and de Rham cohomology. If X is Kähler then we have the Hodge decomposition and the spectral sequence collapses at the E1 term. After the Iwasawa manifold few other examples for higher order non-vanishing phenomena were found; in particular no example with dn ̸ = 0 for n> 3 has been described in the literature. We construct for n ≥ 2 nilmanifolds with left-invariant complex structure Xn such that the n-th differential dn does not vanish. This answers a question mentioned in the book of Griffith and Harris. AMS Subject classification: 53C56; (55T99, 22E25, 58A14) Introduction. Let X be a compact complex manifold and A p,q be the sheaf of smooth differential (p, q)-forms. The decomposition of the exterior differential d = ∂ + ¯ ∂ gives rise to a double complex (A p,q (X), ∂, ¯ ∂). The columns of this double complex

연구 동기 및 목표

• 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스가 E1 항 이후로도 퇴화되지 않는 명시적 예가 부족한 문제를 다루기 위해.
• 그리피스와 헤이어스의 책에서 제기된, n > 3인 경우 dn이 비퇴화되는 다양체의 존재성에 관한 질문을 해결하기 위해.
• 왼쪽 불변 복소 구조를 갖는 컴팩트 복소 노르만포드를 구성하여, 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 n번째 미분 dn이 0이 아니게 하기 위해.
• 스펙트럴 시퀀스의 비퇴화가 임의로 높을 수 있음을 보이며, 즉 임의의 n ≥ 2에 대해 dn ≠ 0인 다양체가 존재함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 각 n ≥ 2에 대해 왼쪽 불변 복소 구조를 갖는 노르만포드 Xn의 가족을 구성하기 위해.
• Xn의 드 라무 및 돌베올 코hom로지와 관련된 이중 복합체 (A^{p,q}(X), ∂, ∂̄)를 이용하기 위해.
• 노르만포드의 리 대수의 내재된 대수적 구조를 통해 스펙트럴 시퀀스를 계산하기 위해.
• 이중 복합체 위의 명시적 코hom로지 계산을 통해 스펙트럴 시퀀스의 미분 dn을 분석하기 위해.
• 왼쪽 불변 복소 구조를 갖는 노르만포드의 스펙트럴 시퀀스는 셰바레-일리베르 복합체를 통해 대수적으로 계산될 수 있다는 사실을 활용하기 위해.
• 각 n ≥ 2에 대해 dn이 0이 아니라는 것을 보이며, En 페이지까지 생존하는 비자명한 코hom로지 클래스를 명시적으로 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 복소 다양체에 대해 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스가 임의로 높은 페이지에서 비퇴화될 수 있는가?
• RQ2 n > 3인 경우 dn ≠ 0인 명시적 복소 컴팩트 다양체의 예가 존재하는가?
• RQ3 왼쪽 불변 복소 구조를 갖는 노르만포드는 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 임의로 높은 비퇴화를 실현할 수 있는가?
• RQ4 스펙트럴 시퀀스의 최대 비퇴화 정도는 미분 지수 n에 대해 어떻게 되는가?
• RQ5 노르만포드의 리 대수의 대수적 구조는 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 각 정수 n ≥ 2에 대해, 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 n번째 미분 dn이 0이 아닌 복소수 야무니폴드 Xn을 구성한다.
• 이 구성은 n ≥ 2인 모든 페이지 En에서 스펙트럴 시퀀스가 퇴화되지 않는 첫 번째 명시적 예를 제공한다.
• dn의 비퇴화는 이중 복합체 위의 명시적 코hom로지 계산을 통해 입증된다.
• 결과는 스펙트럴 시퀀스가 임의로 비퇴화될 수 있음을 보이며, 즉 퇴화되는 페이지에 대한 통일된 상한이 존재하지 않음을 의미한다.
• 이 구성은 허지 분해가 일반적인 비카일러의 의미뿐 아니라 강력한 고차 비퇴화 방식으로도 실패함을 확인한다.
• 논문은 그리피스와 헤이어스의 책에서 제기된, 이러한 고차 비퇴화 현상의 존재성에 관한 열린 질문을 해결한다.