[논문 리뷰] Sp(n,1) admits a proper 1-cocycle for a uniformly bounded representation

Shintaro Nishikawa|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 위의 균일 유계 표현에 대해 Sp(n,1)에 대한 측도적으로 올바른 1-코사이클을 구성함으로써 샤로움의 추측을 증명한다. 추상적 자동-올바름과 명시적 소볼레프 포함 비연속성의 두 접근 방식을 사용하여, Sp(n,1)이 균일 유계 표현을 통해 측도적으로 올바른 애파인 작용을 갖는다는 것을 입증함으로써 기하군론과 랭크-원 리군의 하이거프 성질에 대한 핵심 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We verify Shalom's conjecture for the simple real-rank-one Lie group Sp(n ,1) for any n: i.e. we show that it admits a metrically proper affine action on a Hilbert space whose linear part is a uniformly bounded representation. We provide two different proofs. Both approaches crucially use results on uniformly bounded representations by Michael Cowling. The first approach is quite abstract: it uses an automatic-properness result of Shalom and requires almost no computations. The second approach is explicit: we deduce the properness of cocycles from the non-continuity of a critical case of the Sobolev embedding. This work is inspired from Pierre Julg's work on the Baum--Connes conjecture for Sp(n,1).

연구 동기 및 목표

• Hil베르트 공간 위의 균일 유계 표현에 대해 Sp(n,1)이 측도적으로 올바른 1-코사이클을 갖는다는 샤로움의 추측을 검증하는 것.
• 하이거프 성질을 가진 군을 초월하여 카즈단의 성질 (T)를 가진 Sp(n,1)까지 a-T-멘블라빌리티를 확장하는 이해를 넓히는 것.
• 균일 유계 표현이 비가역적, 랭크-원 리군에 대해 측도적으로 올바른 1-코사이클을 지원할 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 두 가지 서로 다른 증명—샤로움의 자동-올바름 정리에 기반한 추상적 증명과 소볼레프 포함 비연속성을 통한 명시적 증명—을 제공하여 결과의 강건성을 입증하는 것.
• SO₀(n,1)과 SU(n,1)에 대한 측도적 코사이클 결과를 Sp(n,1)으로 일반화하여 실-rank-1 단순 리군에 대한 분류를 완성하는 것.

제안 방법

• 샤로움의 자동-올바름 결과를 활용: 반사 가능한 바나흐 공간에서 비자명한 1-코사이클이 코바운드가 아니면 올바르다.
• G/P 위의 적분이 0인 최고차형식의 공간 W₀에 유클리드 노름을 구성하여 표현 π의 연속성과 균일 유계성을 확보한다.
• 미첼 코링의 균일 유계 표현에 대한 깊이 있는 결과를 적용하여, 구성된 노름에 대해 π를 W₀ 위에서 균일 유계로 실현한다.
• 명시적 증명을 위해 Busemann 코사이클 γ(x,y) = μ_y - μ_x 를 사용하고, Γ_{L²}(E*)에서 ||(1+Δ_E)^{r/4 - 1/2} d_E γ|| 의 노름을 분석한다.
• 카이리 변환을 사용하여 노름 계산을 헤이센베르크 유형 공간 V의 0 근처로 이전하여 문제를 특이 함수의 국소 적분 가능성으로 환원한다.
• 파투의 보조정리를 적용하여, t→∞ 일 때 Δ_o^{r/4} log|x*x - y| 의 L²-노름이 발산함을 보여 코사이클의 올바름을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sp(n,1)은 힐베르트 공간 위의 균일 유계 표현에 대해 측도적으로 올바른 1-코사이클을 갖는가?
• RQ2 샤로움의 추상적 자동-올바름 결과는 명시적 노름 추정 없이도 코사이클을 구성하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ3 임계 소볼레프 포함의 비연속성이 균일 유계 설정에서 1-코사이클의 올바름을 유도하는 데 충분한가?
• RQ4 카즈단의 성질 (T)를 가진 군임에도 불구하고, Busemann 코사이클이 균일 유계 표현 하에서 올바른가?
• RQ5 Ω^top_{∫=0}(G/P) 위의 자연스러운 표현이 유클리드 노름을 갖는다 하더라도 균일 유계이고 연속적인가?

주요 결과

• Sp(n,1)은 균일 유계 표현을 통해 힐베르트 공간 위에 측도적으로 올바른 애파인 작용을 갖는다. 이는 이 군에 대해 샤로움의 추측을 확인한다.
• 0 → W₀ → Ω^top(G/P) → ℂ → 0 의 확장과 관련된 1-코사이클 b는 W₀ 위의 적절한 유클리드 노름에 대해 올바르다.
• W₀ = Ω^top_{∫=0}(G/P) 위의 표현 π는 구성된 유클리드 노름 하에서 연속적이고 균일 유계이며, 코링의 결과에 의존한다.
• 명시적 증명은 d_Z(x,y) → ∞ 일 때 ||(1+Δ_E)^{r/4 - 1/2} d_E γ|| → ∞ 임을 보여, Δ_o^{r/4} log|x*x - y| 의 국소 비적분 가능성에 의해 코사이클의 올바름을 확인한다.
• Busemann 코사이클의 도함수 d_E γ 는 Γ_{L^r}(E*) 위의 L^r-노름에 대해 올바르며, 등거리 L^r-표현의 경우에도 올바름을 입증한다.
• SO₀(n,1), SU(n,1), 또는 Sp(n,1)의 비콤팩트 닫힌 부분군은 힐베르트 공간 위의 균일 유계 표현에서 측도적으로 올바른 1-코사이클을 갖는다.