[논문 리뷰] Sparse graphs without linear anticomplete pairs

Maria Chudnovsky, Alex Scott외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 03.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모든 희박한 그래프가 주어진 그래프 H의 부분 그래프로 분할된 그래프를 포함하거나, 간선이 없는 두 개의 선형 크기의 정점 집합을 가진다는 것을 입증한다. 그 결과, 큰 클리크나 안정 집합을 가지지 않는 그래프는 반드시 H의 부분 그래프로 분할된 그래프 또는 그 여부를 포함하며, 이는 희박한 그래프에 대한 에르되시-하자날 추측을 발전시킨다.

ABSTRACT

We prove that for every graph H there exists c>0 such that, for every graph G, if G has no clique or stable set of size |G|^c, then either G or its complement contains an induced subdivision of H. This follows from a stronger result for sparse graphs which says, roughly, that every sparse graph contains either an induced subdivision of H or two linear-sized sets of vertices with no edges between them. These results are related to the Erdos-Hajnal conjecture.

연구 동기 및 목표

• 유도된 부분그래프와 관련된 희박한 그래프의 구조적 성질을 조사하기 위해.
• 고정된 그래프 H의 유도된 분할에 초점을 맞춰 에르되시-하자날 추측을 다루기 위해.
• 희박한 그래프에서의 이분법: 유도된 H-분할이 존재하거나, 두 개의 큰 독립 집합이 존재한다.
• 클리크나 안정 집합이 큰 그래프를 가지지 않는 그래프는 G 또는 그 여부에 대해 유도된 H-분할을 포함해야 한다는 것을 증명하기 위해.

제안 방법

• 구조적 이분법를 식별하기 위해 희박한 그래프를 분석하기 위해 극한 그래프 이론 기법을 사용하기 위해.
• 정점 집합을 큰 독립 쌍으로 분할하거나 유도된 H-분할을 탐지하기 위해 분해 방법을 적용하기 위해.
• 인도션과 조밀도 기반의 추론을 사용하여 G 내의 클리크와 안정 집합의 성장을 통제하기 위해.
• 희박한 설정에서의 에르되시-하자날 성질을 활용하여 유도된 분할의 존재를 도출하기 위해.
• 큰 동일한 집합의 부재를 구조적 제약 조건으로 번역하여 유도된 부분그래프를 유리하게 만들기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 희박한 그래프는 고정된 그래프 H의 유도된 분할 또는 두 개의 선형 크기의 독립 집합을 포함하는가?
• RQ2 에르되시-하자날 추측은 큰 클리크나 안정 집합을 가지지 않는 그래프에서 유도된 분할로 확장될 수 있는가?
• RQ3 큰 동일한 집합을 피할 때 희박한 그래프에서 어떤 구조적 이분법이 나타나는가?
• RQ4 큰 클리크와 안정 집합의 부재는 G 또는 그 여부에 대해 유도된 H-분할의 존재를 어떻게 강제하는가?

주요 결과

• 모든 그래프 H에 대해 c > 0가 존재하여, |G|^c 크기의 클리크나 안정 집합을 가지지 않는 임의의 그래프 G는 G 또는 그 여부에 대해 H의 유도된 분할을 포함한다.
• 희박한 그래프에서는 유도된 H-분할이 존재하거나, 간선이 없는 두 개의 선형 크기의 정점 집합이 존재한다.
• 이 결과는 모든 그래프 H에 대해 균일하게 성립하는 구조적 이분법을 제공한다.
• 증명은 어떤 c > 0에 대해 |G|^c에 따라 독립 수 또는 클리크 수의 정량적 bound를 확립한다.